贝祖数什么意思？教你搞懂代数几何发展史( 三 ) _几何

三、19世纪末到20世纪早期对代数簇的深入研究【贝祖数什么意思？教你搞懂代数几何发展史】从19世纪末期开始，代数几何的发展进入了一个新的历史阶段。以皮卡(Picard)和庞加莱(Poincaré)为代表“分析学派”试图将黎曼的复代数曲线理论推广到复代数曲面上。虽然这里的(复的)维数仅仅增加了一维，但是与代数曲线的情形完全不同，研究代数曲面需要克服许多困难，难度极大。例如在复三维的空间中，如果g(x,y.z)是一个三元复多项式，那么g(x,y.z)＝0就是一个复代数曲面。与复代数曲线类似，g(x,y.z)＝0实际上确定了实6维空间中的一个6－2＝4维的实微分流形。
在研究代数曲面的过程中，非常需要了解高维流形的拓扑性质。法国数学家庞加莱为此首创了代数拓扑的同调(homology)理论。为了弄清楚黎曼所说的高维“贝蒂(Betti)数”到底是什么，庞加莱开始建立单纯复形的同调理论，以便能够严格地证明黎曼的直观猜想。他从1895开始，写出了著名的关于同调理论的一系列文章。其大致的想法是，先将代数簇进行三角剖分后得到一系列单纯形，然后就能够以此构造出单纯同调群(其实也是线性空间)，这样，每个贝蒂数就分别是这些线性空间的维数，它们都是拓扑不变量，可以用来刻画代数簇的几何性质。接着莱夫谢茨(Lefchetz)在20世纪初期进一步用这个同调理论开始研究复代数曲面的拓扑性质，得到了许多深刻的定理。

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图5 庞加莱
对于代数曲面理论研究的最主要的贡献还是来自于著名的“意大利学派” 。这个学派的三个主要代表人物是卡斯泰尔诺沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞维里(Severi)，他们在20世纪初期用天才的几何直觉和高超的几何技巧，综合运用包括分析与拓扑方法在内的各种方法创造了复代数曲面的一个非常深刻的理论，包括代数曲面的奇点解消、除子与线性系的经典理论、代数曲面的黎曼-罗赫定理的初步形式以及代数曲面的模空间等等。例如他们用一组平面去截割一个代数曲面，在所得的代数曲线上再运用黎曼的代数曲线理论的结果，从中得到了关于代数曲面的一些重要结果。与代数曲线只有单一的不变量亏格不同，刻画代数曲面除了几何亏格以外，还需要算术亏格等其他好几个不变量。
但同时意大利学派的工作也有一个致命的缺陷，那就是缺少一个统一的逻辑基础，一些证明要依赖于数学家心目中某种神秘的几何直观，因而缺乏严密性。和数学史上常见的情形一样，这种逻辑基础不稳的状况对于视严格为生命的数学家们来说是一件特别纠结的事，它严重阻碍了代数几何的向前发展。