贝祖数什么意思？教你搞懂代数几何发展史( 二 ) _几何

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图3 莱布尼茨

二、19世纪对代数簇的初步研究到了19世纪上半叶的射影几何理论正式登场后，才初步形成了一些关于复代数曲线与复代数簇的代数几何定理。以法国数学家庞斯列(Poncelet)为代表的一批数学家建立了射影几何的系统理论，总结和整理了大量的射影几何命题和方法，特别是射影变换的理论。例如可以将圆锥曲线看成是两个相互射影对应线束的对应直线的交点轨迹等。在射影几何里还有一些涉及到计数几何(enumerative geometry)的定理，例如可以证明每个三次代数曲面上都有27条直线、每条非退化四次平面代数曲线都有28条与曲线同时相切两次的双切线、与5条已知圆锥曲线都相切的圆锥曲线一共有3264条等结论。
黎曼是19世纪最伟大的数学家。他在研究阿贝尔积分理论的过程中提出了内蕴的“黎曼面”的概念和黎曼面上代数函数的理论。阿贝尔积分是复变函数论中与复代数曲线紧密相关的一种复积分，它来源于微积分中更早的“椭圆积分”，而研究椭圆积分的最初目的则是为了计算椭圆的周长(我们在微积分里已经知道，类似于求椭圆周长的这种定积分是没有原函数的，它们只能通过近似计算的方法来求出定积分的值) 。现在在复平面内，如果f(x,y)是一个二元复多项式，那么f(x,y)＝0就定义了一条复代数曲线，注意在这里可以取复数值的x和y都是实2维的复变量，因此复平面就可以看成是实4维空间，而相当于两个实数等式的复数等式f(x,y)＝0实际上又确定了两个4维空间中的曲面，由于每增加一个实数等式就相当于减少一个几何维数，于是复代数曲线f(x,y)＝0实际上就是一个4－2＝2维的实曲面。这样，每一条复代数曲线都对应了一个抽象的被称为黎曼面的几何对象。黎曼的初始目标是对黎曼面上所有的阿贝尔积分进行分类，由此出发他得到了一系列刻画黎曼面性质的重要定理。由黎曼面与代数曲线的对应关系可知，他实际上是得到了不少关于代数曲线理论的重要成果，因此我们可以讲，是黎曼首创了用分析来研究代数曲线的方法。

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图4 黎曼
黎曼首次发现了“亏格”这一现代几何的基本概念(对应了几何对象上“洞”的个数)，并提出了代数几何中最基本的双有理变换的思想。双有理变换是一种比射影变换更加宽泛的变换，它能够保持代数曲线的亏格不变，并且此时两条代数曲线上的有理函数域一定是同构的。注意到有理函数域是一个代数对象，因此这实际上就是建立了几何与代数之间的初步联系。从黎曼的时代到现在，从某种程度上说，整个代数几何主要就是在研究一般代数簇的双有理分类问题。黎曼和他的学生罗赫一起还发现了著名的(代数曲线上的)黎曼-罗赫定理，这个定理反映了代数曲线上的由全体有理函数组成的线性空间的性质是如何受到亏格这一几何不变量控制的。这个深刻定理后来在20世纪被推广到了高维代数簇的情形，并直接导致了著名的阿蒂亚-辛格指标定理的发现。
黎曼在1854年的著名演讲中所给出n维黎曼流形的初步概念，不仅仅是为了研究物理学意义上几何空间的需要，其实也是在为探索一般的高维代数簇性质所做的准备工作。黎曼在历史上第一次发现，在一般的高维微分流形上也可以设置任意的度量。他经过推算发现了刻画黎曼流形局部几何性质的主要不变量——黎曼曲率张量。这些张量实际上成为了现代整体微分几何发展的起点，并且最终都会通过某种形式进入到了代数几何的理论中。更令人难以置信的是，黎曼在研究数论时所提出的大名鼎鼎“黎曼猜想”，后来竟也变成了推动代数几何发展的强大动力！所谓的黎曼猜想是说：复变函数黎曼函数的全部复零点的实部都等于。黎曼猜想是一个内涵极其丰富的猜想，它应该是现代数学中还没有被证明的最重要的猜想。
代数数论的研究其实也是推动代数几何理论发展的另一个重要来源。为了研究代数数域的需要，19世纪的德国数学家克罗内克(Kronecker)和戴德金(Dedekind)等人引入理想、赋值和除子等基本概念。以这些数学家为代表的“代数学派”的工作目标是设法对黎曼用分析方法给出的结果试图作出纯代数的证明，毋庸置疑，这对代数几何这门学科的性质来讲是至关重要的。与此同时，以马克斯·诺特(Max Noether)和克莱布施(Clebsch)为代表的“几何学派”继续从经典射影几何的角度研究复代数曲线，他们发现了平面曲线奇点解消的“胀开”(blow up)方法。