走近量子纠缠——贝尔不等式
小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是:走近量子纠缠——贝尔不等式 。
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故事适合年级:小学【走近量子纠缠——贝尔不等式】趣味小故事: 1963-1964年,在长期供职于欧洲核子中心(CERN)后,约翰·贝尔有机会到美国斯坦福大学访问一年 。北加州田园式的风光,四季宜人的气候,附近农庄的葡萄美酒,离得不远的黄金海滩,加之斯坦福大学既宁静深沉,又宽松开放的学术气氛 。这美好的一切,孕育了贝尔的灵感,启发了他对EPR佯谬及隐变量理论的深刻思考 。
贝尔开始认真考察量子力学能否用局域的隐变量理论来解释 。贝尔认为,量子论表面上获得了成功,但其理论基础仍然可能是片面的,如同瞎子摸象,管中窥豹,没有看到更全面、更深层的东西 。在量子论的地下深处,可能有一个隐身人在作怪:那就是隐变量 。
根据爱因斯坦的想法,在EPR论文中提到的,从一个大粒子分裂成的两个粒子的自旋状态,虽然看起来是随机的,但却可能是在两粒子分离的那一刻(或是之前)就决定好了的 。打个比喻说,如同两个同卵双胞胎,他们的基因情况早就决定了,无论后来他(她)们相距多远,总在某些特定的情形下,会作出一些惊人相似的选择,使人误认为他们有第六感,能超距离地心灵相通 。但是实际上,是有一串遗传指令隐藏在它们的基因中,暗地里指挥着他们的行动,一旦我们找出了这些指令,双胞胎的‘心灵感应’就不再神秘,不再需要用所谓‘非局域’的超距作用来解释了 。
尽管粒子自旋是个很深奥的量子力学概念,并无经典对应物,但粗略地说,我们可以用三维空间的一段矢量来表示粒子的自旋 。比如,对EPR中的纠缠粒子对A和B来说,它们的自旋矢量总是处于相反的方向,如下图中所示的红色矢量和蓝色矢量 。这两个红蓝自旋矢量,在三维空间中可以随机地取各种方向,假设这种随机性是来自于某个未知的隐变量L 。为简单起见,我们假设L只有八个离散的数值,L=1,2,,3,4,5,6,7,8 ,如下图所示,分别对应于三维空间直角坐标系的八个卦限 。
文章插图
由于A、B的纠缠性,图中的红矢和蓝矢总是应该指向相反的方向,也就是说,红矢方向确定了,蓝矢方向也就确定了 。因此,我们只需要考虑A粒子的自旋矢量(红矢)的空间取向就够了 。假设红矢出现在八个卦限中的概率分别为n 1 ,n 2 ...n 8。由于红矢的位置在8个卦限中必居其一,因此我们有:
n 1 +n 2 +n 3 +n 4 +n 5 +n 6 +n 7 +n 8 =1。
现在,我们列出一个表,描述A、B的自旋矢量在3维空间可能出现的8种情况 。下图中的左半部分列出了在这些可能情况下,自旋矢量在xyz方向的符号:
文章插图
既然AB二粒子系统形成纠缠态,互为关联,我们便定义几个关联函数,用数学语言来更准确地描述这种关联的程度 。比如,我们可以如此来定义P xx (L) :观察x方向红矢的符号,和x方向蓝矢的符号,如果两个符号相同,函数P xx (L) 的值就为+1,否则,函数P xx (L) 的值就为-1 。我们从上表左边列出的红矢蓝矢的符号不难看出,P xx (L) 的8个数值都是-1 。然后,我们使用类似的原则,可以定义其他的关联函数 。比如说,P xz (L) ,是x 方向红矢符号,与z 方向蓝矢符号的关联,等等 。
在上图中的右半部分,我们列出了P xx (L) 以及P xz (L) 、P zy (L) 、P xy (L) 的数值 。
现在,贝尔继续按照经典的思维方式想下去:我们的小孙悟空A和B蹦出石头缝时,它们的两个自旋看起来是随机的,但实际上是按照上面的列表互相关联 。然后,他们朝相反方向拼命跑 。经过了一段时间之后,两个小孙悟空分别被如来佛和观音菩萨抓住了 。如来和观音分别对A和B的自旋方向进行测量 。因为L是不可知的隐变量,因此,只有关联函数的平均值才有意义 。根据上面表中的数值,我们不难预测一下这几个关联函数被测量到的平均值:
P xx =?n 1 ?n 2 ?n 3 ?n 4 ?n 5 ?n 6 ?n 7 ?n 8 =?1
P xz =?n 1 +n 2 +n 3 ?n 4 +n 5 ?n 6 ?n 7 +n 8
P zy =?n 1 ?n 2 +n 3 +n 4 +n 5 +n 6 ?n 7 ?n 8
P xy =?n 1 +n 2 ?n 3 +n 4 ?n 5 +n 6 ?n 7 +n 8
让我们直观地理解一下,这几个关联函数是什么意思呢?可以这样来看:P xx 代表的是A和B都从x 方向观测时,它们的符号的平均相关性 。因为纠缠的原因,A、B的符号总是相反的,所以同被在x 方向观察时,它们的平均相关性是-1,即反相关 。类似的,P xz 代表的是从x 方向观测A,从z 方向观测B时,它们符号的平均相关性 。如果自旋在每个方向的概率都一样,即:n 1 =n 2 =...n 8 =1/8 的话,我们会得到P xz 为0 。对P zy 和P xy ,也得到相同的结论 。换言之,当概率均等时,如在相同方向测量A、B的自旋,应该反相关;而如果在不同方向测量A和B的自旋,平均来说应该不相关 。
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