四点共圆模型欣赏 _小知识

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本文作者：刘瑞祥， [遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！
四点共圆（圆内接四边形）是平面几何里的一个重要模型，涉及的对象很多，使用灵活，难度很大。以其中的角度关系来说，主要包括外角等于内对角、同弦所对的角相等（角在弦的同侧）或互补（角在弦的两侧）这两个重要结论，而且很好的一点是其逆命题也成立，即可以通过角度关系来判断四个点是不是共圆。本文略举数例，介绍其应用。
问题一：圆内接四边形有一组对边平行，则另一组对边相等

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已知：A、B、C、D 四点共圆，且 AB//CD 。求证：AD=BC 。
证明：连接对角线 AC、BD ，二者相交于 E 点。
因为 AB//CD ，所以 ∠3=∠3’ 。
又因为 A、B、C、D 四点共圆，所以 ∠3=∠3” 。
即 ∠3’=∠3” 。
所以 ED=EC 。（等角对等边）
同样因为 A、B、C、D 四点共圆，可得 ∠1=∠1’ ， ∠2=∠2’ 。
所以 △ADE≌△DCE 。（角角边）即 AD=BD 。得证。
这里两次直接用到四点共圆的角度关系，使之得到充分的利用，干净利落。若用其它方法，恐迂回笨拙。
问题二：证明相交圆得到的两弦平行这道题并不难，但是《许莼舫初等几何四种》（许莼舫著，中国青年出版社 1978 年出版）中介绍了这道题的各种变化形式，居然达到 23 种之多。因其证明简单，具体过程就略去了。

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已知：两圆相较于 A、B ，通过两交点各作一直线 CAD、EBF ，止于两圆。求证：CE//DF 。
学生经常会陷入题海不能自拔，如果老师在教学中能抓住题目的“灵魂” ，也就是“万变”表象下的“不变”之处，就能摆脱困境了。
问题三：作顶点在给定三平行线 l1、l2、l3 上的正三角形这一题至少有两种解法，最终的证明过程都和四点共圆有关。这两种做法都来自《圆之吻——有趣的尺规作图》（作者莫海亮，电子工业出版社 2016 年出版），但没有证明。
解法一

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作法：

作任意直线与已知平行线垂直，分别交三线于 A、B、C 点；
过 AB 的中点作直线 m 与 l1 平行；
过 C 作 CE 与 AC 成 30 度，交 m 于 E 点；
连接 BE 并延长，交 l1 于 F；
作角 FBG 等于 60 度，交 l3 于 G 点；
【四点共圆模型欣赏】连接 FG 。三角形 BEG 即为所求。

证明：
连接 EG 。
因为角 EBG 和角 ECG 都是 60 度，所以 E、B、C、G 四点共圆，所以 ∠BEG 与 ∠BCG 互补，也等于 90 度。
因为 D 是 AB 的中点，且 DE 与 l1 平行，所以 DE 是 △ABF 的中位线， BE=FE 。
又因为 EG 是公共的， ∠BEG=∠FEG=Rt∠ ，所以 △BEG≌△FEG ，所以 ∠EFG=60 度。
得证。
关于圆内接四边形的角度关系，有一个特例：如果一个角是直角，其对角也是直角。前面就利用了这个关系。而且从本题可以看出，四点共圆中的“圆”不一点在作图过程中给出，有时只在证明过程中才会出现，下面的解法亦然。之所以如此，是因为如果只利用角度关系而不涉及线段长度，则只需要做出等角即可，无需找直线和圆弧的交点。而在证明过程中，如果看到同一线段所对的两个。
解法二

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作法：

以中间线 l2 为一边，作正三角形 ABC ，其中 A、C 在 l2 上， B 在 l1 上；
作 BC 的延长线，交 l3 于 D 点；