数学学习切勿陷入题海之中，做题要善于反思 _小知识

文章插图

本文作者：刘瑞祥， [遇见] 这里感谢刘老师投稿支持！
学生为什么会陷于题海而无法自拔？原因之一是不善于回顾和反思，往往是做完一道题就只会这一道题。本文通过几个和圆有关的解析几何问题来介绍反思的方法。众所周知，在解析几何中，圆的方程比较简单，而且有着鲜明的特点：

是二次方程；
没有 xy 项；
x2 和 y2 项系数相同。

文章插图

特别值得注意的是，无论坐标轴如何旋转和移动，圆方程的以上特点都不变，这是圆这种图形优于椭圆等圆锥曲线的地方。我在写完反演变换的证明（以下简称《反》文）一文后又思考了几个问题，觉得用解析几何的方法来证明比较方便。（《反》文里先用复数方法，最后才转换为解析几何里的坐标形式）

对给定两点的张角为直角的点的集合为圆（除去两个已知点）。
阿波罗尼奥斯圆问题——给定两个点，求到两个点距离等于定值的点的集合；
求根轴——设已知圆的圆心为 O ，半径为 R ，某点 A 对该圆的幂是 OA2-R2 。现在有两个已知圆，求对这两个圆的幂相等的点的集合（称为“根轴”）。

文章插图

这几个问题用传统的几何证明方法颇有一定难度（不要小看第一题），但如果用解析几何方法甚至无须写出过程，结合圆方程的特点，在脑子里想一下就能得到结论了。
以本文提到的这几个问题为例，除了前面提到的圆的方程特点以外，可以回顾和反思的内容还包括：

如何将已知条件翻译为方程，特别是要让方程尽量简化。比如可以将其中一个圆设成单位圆，或者把其中一个已知点设为原点，另外一个点设在坐标轴上。
要善于利用已知条件。以第一题为例，设已知点分别为原点 O 和坐标轴上一点 A(a,0) ，动点为 P(x,y) ，若只考虑 OP 和 PA 垂直的斜率关系，恐难奏效，而如果考虑到 OAP 构成直角三角形，利用勾股定理则迎刃而解。
对解的讨论，包括解的几何意义，以及是否有退化情况。后者包括什么时候无解、有无穷多解，以及什么时候圆变成直线等等。以第三题为例，如果两个已知圆同心（但半径不同），则无解。

如果有学生能对照以上问题在解析几何和传统初等几何解法的区别，那就更好了。以第一题为例，如果要用传统的初等几何方法，除了证明圆周上的点对已知点张角是直角，还要证明其它点对已知点的张角不是直角，有点麻烦。

文章插图

【数学学习切勿陷入题海之中，做题要善于反思】自然，前面提到的这些反思内容对初学者来说是比较困难的，特别是初学者在做完一道题后可能很难联想到相关问题，这时老师和参考书的作用就体现出来了：你是让学生一道题接着一道题地做下去，还是说在每道题后面都附有详细的讲解，效果大不一样。有的学生虽然做了很多题，却都是差不多的同类问题，既没有反思，也没有深化，只有重复重复再重复，有什么意义呢？而我初中虽然是一所很普通的学校，但当时的数学老师却说过一句“至理名言”：每道题都有它的命题意图，你必须实现这个意图才算没白做这道题。我不知道现在的数学老师是不是也对学生这样说。
还有人可能会说，题目那么多，都这样反思哪有时间？这就需要老师精选题目，所谓“减负增效”是也。