经典趣味数学 问题是数学发展的源泉

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故事适合年级:小学二年级【经典趣味数学 概率题错解分类剖析】趣味小故事:有些朋友说 , 学数学最重要的是方法 , 做题并不重要 , 我认为不做大量的题怎么能学到方法呢?从数学历史来看 , 数学理论的发展几乎都源起于想解决一些特殊的问题 。1900年 , 德国大数学家 D. Hilbert在巴黎举行的国际数学会议上 , 发表了〈数学问题〉的专题演讲 , 其前文的前半段就阐明了这个观点:
谁不愿意将未来的面纱揭去 , 看一眼科学下一步的进步及进展的秘密?下几代的主要数学精神追求的是那些特别的目标?在未来的世纪中 , 数学这个宽广丰盛的领域又会产生那些新的方法以及新的结果?
回顾历史就知科学发展是连续的 。每一时代自有其待解的问题;这些问题到了下一代或许解决了 , 或者因解之徒劳无益 , 搁置一旁 , 而代之以新的问题 。想要预知近期数学发展的梗概 , 我们就得注意那些发生在今日而期待在未来可解的问题 。在此世纪接替之际 , 纵谈数学的问题 , 自有其意义 , 因为此时我们不但要回顾过去伟大的成就 , 同时也要将我们的思索导向未来的发展 。
许多问题在数学一般的发展上 , 或对某些研究者而言 , 具有极高的价值 , 这一事实殆无疑问 。只要具有众多的问题 , 一门科学就充满了活力;问题短缺会使之趋于消失或失去独立发展 。就像一般的事业必须追求特定目标 , 数学研究需要的是问题 。研究者以问题的解决衡量及锻练其能力;他发现新方法 , 发展新观点 , 使他的视野更宽广、更自由 。
事先准确判断一个问题的价值是很困难的 , 甚至是不可能的;价值的判断要取决于这个问题所带给科学的进展 。然而我们想知道是否有一般的标准来评判一个数学问题的好坏 。一位法国老数学家说:「如果你无法将一个数学理论弄清楚到可以解释给街上任何一个人听 , 那么这个数学理论就不算完成 。」对一数学理论如此清楚、易于了解的要求 , 我想更应加诸于所谓好的数学问题;清楚、易于了解使人向往 , 复杂使人排斥 。
更有进者 , 一个数学问题要难得吸引人 , 但也不能难到无从下手 。它必须是真理谜阵中的指标 , 及成功解答后喜悦的回味品 。
过去的数学家都热忱地投入解决某些特定的难题 。他们深知难题的价值 。想想 John Bernoulli 提出的「最速下降曲线」这个问题就好 。Bernoulli 在公开提出这个问题时说:由经验得知 , 使伟大人物得以促进科学进步的动力 , 也不过是在他们面前摆着又难同时又有用的问题 。所以为了赢得数学界的感谢 , 他就效法 Mersenne、Pascal、Fermat、Viviani 等先贤 , 在许多伟大的分析学家面前 , 提出他想到的问题 , 以作为他们的方法 , 他们的能力的试金石 。变分法 就因 Bernoulli 的问题及其它的类似问题而产生了 。
大家都知道 , Fermat 认定
x^n + y^n = z^n
这样的方程式没有正整数解(n>2) 。寻求解答这样一个特殊的、看起来不重要的问题 , 居然会对数学发展深具启发性 , 这是问题之有用的显著例证 。Kummer 为了解决 Fermat 问题 , 引进了理想数 , 发现它们在圆分体中具有唯一分解成质因子乘积的性质 。Dedekind 及 Kronecker 将之推广到一般代数体 , 使之成为现代数论的中心论题 , 而其意义更远超出数论范围 , 进入代数及函数论的领域中 。
再提一个相当不同的领域 , 三体问题 。Poincar谷 所带给天体力学的丰富方法及深远原理 , 就起因于重新研究三体问题这个难题 , 以便寻求更近似的解答 。
Fermat 及三体是两个极端类型的问题 。前者是纯理论的产物 , 属于抽象的数论 , 后者因天文需要而生 , 是了解自然界最基本现象的要素 。还有 , 同一个题目也时常引起在极端不同的数学领域中有所应用 。譬如 , 最短曲线问题在几何基础、曲线曲面论、力学以及变分法各方面 , 都扮演了极重要的角色 。F. Klein 在二十面体方面的研究 , 其在初等几何中多面体问题、在群论、在方程式论以及在线性微分方程所具有的影响 , 更强烈支持这种观点 。