四、活跃领域中的问题：问题的研究终究能够找出意想不到的背后基本结构 ， 不但解决原来问题 ， 而且提供普遍性的方法 ， 以阐明其它领域中的许许多多问题 。譬如 ， 李群与代数拓朴是目前的典型例子 。
五、衰退领域中的问题： Hilbert 也说过 ， 如果没有不断的新问题的刺激 ， 一个数学理论不可能活跃 。一旦一个数学理论中的大问题已经解决 ， 与其它数学领域的关系也弄清楚后 ， 研究者就会钻起牛角尖来 。不变量理论就曾有几次演变成这种阶段 。
六、稀释领域中的问题：选对了公理的系统可以导出很好的理论与技巧 。一个公理系统的成功常使研究者漫无目的变更公理 ， 以期再造佳绩；当然 ， 这种期望往往落空 。（这类研究者往往举不出研究对象的应用实例 ， 所以 Dieudonn谷 幽默地说他也不举出这一类型的例子 。）
当然第四类问题最重要 ， 其次才是第三类问题 。其它类的问题就数学发展而言都是毫不足道的 。问题是数学活动的泉源 ， 如何选择有意义的研究问题 ， Hilbert 给了典范 ， Dieudonn谷 提出了判断标准 。
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阿尔法趣味数学小课堂：观察力揭密：

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