经典趣味数学问题是数学发展的源泉( 二 ) _小知识

为了强调问题的重要性，我可以再提到 Weierstrass 。他说，他在科学研究生涯之初，能够遇到像 Jacobi 反转这样重要的问题，实在幸运之至。
说了问题在数学研究的重要性，我们再来探讨问题的来源。当然每一数学分支中的最老问题都来自经验与自然现象。甚至连数字计算法则在文明之初都是如此而得，就像今日的小孩从经验学得这些法则一样。古时传下来的几何问题，像是倍立方、圆化方，也是一样。还有数字方程式论、曲线论、变分法、Fourier 分析以及势能论也是一样，更不用说那些属于力学、天文及物理的问题。
但要使一门数学再往前进展，就得靠人类的思索促使其成为一门独立的学问。一门学问经由逻辑整合、一般化、特殊化、巧妙分辨、整理各种想法及新而有用的问题等等，不必有外在因素的具体影响，一样可以自我增殖。质数理论及数论的其它问题、Galois 的方程式论、代数不变量论、Abel 及自我同构函数论——事实上，几乎所有的现代数论及函数论的好问题都是这样产生的。
而当纯理论创造能力发挥之际，外在世界还是发生作用，使我们由实际经验得到新问题，使我们面对新的数学领域。而在用纯理论开展这些新领域时，我们曾找到那些古老未解问题的答案，使古老的理论有所进展。在我看来，数学家在各种领域中观察问题，提供方法与想法中，所得那么多而惊人的类同与和谐，其原因都是来自这种理论与经验经常的交互作用。
在探讨了问题之对数学的重要性及数学问题的来源后， Hilbert 又谈到如何判定一个数学问题是否得解，然后结束前文。接着 Hilbert 花了很多的时间谈论二十三个他认为对今后数学发展曾有重大影响的数学问题。这就是所谓的「Hilbert 数学问题」，它们的确是好问题，的确在二十世纪的数学发展史上扮演了非常重要的角色。
这二十三个问题是：
一、 Cantor 连续体的基数问题，
二、算术公理的无矛盾性，
三、等底等高两四面体的等积性，
四、两点间最短路程做为直线的问题，
五、连续群的定义函数除去可微性的问题（Lie 原来的观念），
六、物理学公理化，
七、某些数的无理数性及超越性，
八、质数问题，
九、任何代数体中最一般的互逆法则，
十、决定 Diophantine 方程式的可解性，
十一、系数为代数数的二次式，
十二、推广 Kronecker 的 Abel 扩张定理到任何代数体上，
十三、七次方程式不能用两变量函数来解，
十四、某些完备函数的有限性，
十五、 Schubert 算法的严密基础，
【经典趣味数学问题是数学发展的源泉】十六、代数曲线与曲面的拓朴，
十七、正定型的平方和表现，
十八、以全等多面体铺成空间的问题，
十九、正则变分问题的解都是解析的？
二十、一般的边界值问题，
二十一、给定 Monodromy 群，线性微分方程式的存在问题，
二十二、以自我同构函数做解析关系的一致化，
二十三、变分法的进一步开展。
问题固然是数学活动的泉源， Hilbert 的数学问题固然证明了这个观点，但并不是每一个问题都能激起有意义的数学研究。法国数学家 J. Dieudonn谷在其著作《A Panorama of Pure Mathematics》中，把数学问题就其对数学发展的影响分成几类。
一、死产了的问题：问题本身未得解决，试求解决的过程对数学的发展也未产生帮助。譬如 Fermat 质数问题：除 n=0,1,2,3,4 外， 2＾2n+1 还可能是质数吗？
及 Euler 常数的无理数性问。
二、无意义的问题：问题虽然解决了，但对其他问题的进展毫无影响。许多排列组合的问题属于此类。
三、产生方法的问题：用来解决问题的方法或其变形可以解决许多类似或更复杂的问题，虽然我们不一定了解这些方法所以能够解题的关键。解析数论及有限群论就有许多这样的例子。

经典趣味数学 问题是数学发展的源泉( 二 )

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