作为图形科学的平面几何｜《几何世界的邀请》 _几何

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作为图形科学的平面几何平面几何作为图形科学，其研究对象如下图所示，是使用尺子和圆规作出来的图形。描绘图形是图形科学的实验，图形科学的理论用于解释图形现象，例如证明图中P、Q、R 三点在同一条直线上。图形的绘制需要保证正确性，这和在物理学中的实验必须严谨是一样的。

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平面几何中，一般会把几个基本法则当作公理(Axiom) ，根据公理通过论证来推导出各种各样的定理(Theorem) ，从而构成一个体系，这叫作建立公理系统(Axiomatic system) 。
在本章中，我将尝试讲述作为图形科学的平面几何及其严密的公理系统。
§1　公理系统我们首先来明确公理。
公理Ⅰ　图形可以在不改变其形状和大小的情况下改变其位置。
这是前文引用的《理解几何学》中的公理Ⅰ ，也是掛谷老师的教科书中的第一个公理。
公理Ⅱ　通过两点的直线有且只有一条。
这是掛谷老师的教科书中的第二个公理。在这里， “直线”的意思是《理解几何学》中解释的没有端点的无限直线。通过两点A 和B 的直线叫作直线 AB 。

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线段，射线　在直线AB 上，点A 和点B 之间的部分叫作线段AB ， A和B 是线段AB 的端点。线段即《理解几何学》中所说的有限直线。线段AB 的长度用AB 来表示。当然，
BA = AB

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连接A、B 两点的线段AB ，其长度为AB ，这叫作 A 和 B 的距离。
从直线 AB 截取线段 AB 后，直线 AB 剩余的部分叫作线段 AB 的延长线。

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在直线上取一点O ， O 把这条直线分成两个部分。这两个部分都叫作射线， O 叫作直线的开端或者端点。把 O 作为端点且通过点A 的这条射线叫作射线 OA ，从直线 OA 截取射线 OA 后，直线 OA 剩余的部分叫作射线 OA 的延长线。另外，把 O 作为端点的射线叫作从 O 出发的射线。

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以 O 为开端的两条射线

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以 O 为端点过 A 的射线

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射线OA 的延长线
角角是从一点 O 出发的两条射线构成的图形， O 是角的顶点，两条射线是边。在《理解几何学》中，角的定义是“从一点画出来的两条射线所截取的平面的一部分” 。但是，本书认为，角是从一点出发的两条射线构成的图形，两条射线截取的平面的一部分（红色部分）

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称作角的内部。角的内部是角的两边所围成的平面。
在直线上取两点A、B ，则可以把这条直线称作直线AB 。在角的两边分别取与顶点O 不同的点A 和点B ，则可以把这个角称作角AOB 。角AOB 用∠AOB来表示，当然， ∠AOB 和∠BOA 是相同的角。
角的大小　《理解几何学》中把角的大小定义为：“其一条边围绕点O 旋转，一直转到另一条边时的旋转量。”再清晰一些解释的话，围绕点O 周围旋转的射线OX 从射线OA 的位置出发，一直旋转至射线OB 的位置，此时，射线OX的旋转量为∠AOB 的大小。∠AOB 的大小同样用符号∠AOB 来表示。角的大小∠AOB 是正实数。∠BOA 和∠AOB 相同，所以
∠BOA = ∠AOB

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∠AOB 常常简写成∠O ，此时，角的大小∠AOB 也写成∠O 。