数学印象与数学思维｜惰者集：数感与数学( 二 ) _数学思维

什么是粒子的状态？例如，粒子加速器中电子的状态由粒子加速器决定，所以粒子的状态可以理解成粒子所在的环境。在量子力学中，极复杂的环境也只由一个波函数（矢量）来描述，因此首先需对环境进行简化和数学化。如何理解状态A 是状态B 与状态C 的叠加？如果是教材中的光干涉等情况，那么就比较容易理解。不过，在通常情况下说环境A 是环境B 与环境C 的叠加，这就不容易理解了。不确定性原理，例如不可能同时测量一个粒子的位置和它的速度，是通过测量实验对粒子的干扰来加以说明的，最终表明一个粒子无法同时存在于测量位置的装置和测量速度的装置中。换言之，即粒子不可能同时存在两种环境。那么如何理解这两种环境的叠加呢？只能说实在是难以理解。另外，波函数的线性组合运算如同数学中的初级运算一样简单。而态叠加原理则主张通过简单的数学运算来表示各种复杂奇怪状态的叠加。也就是说，数学运算支配了作为量子力学对象的物理现象。这种数学运算与物理现象的关系，并非是通过解析叠加的物理意义而将其用数学公式表现出来，而是将“波函数的线性组合可以描述状态的叠加”视为公理，然后依据数学运算来确定叠加的意义。正如费曼（R.P.Feynman ）所言，除了数学之外，没有其他方法能说明态叠加原理了。我们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法，因此我认为物理现象的背后存在着固有的数学现象。
数学是实验科学我认为，数学家研究数学现象的意义与物理学家研究自然现象相同。也许有人认为，物理学家需要进行各种实验，而数学家仅仅在思考而已。不过，这种情况下的“思考”含有“思考实验”的意思，与考试中对题目的“思考”性质全然不同。考试题目一般是将固定范围内的已知内容组合在一起，一小时之内肯定能够解开，所以相当于提供了明晰的思考对象和思考方法。然而，实验是调查未知的自然现象，因此无法预测结果，甚至无法得到结果。这种实验的形式同样存在于数学中，探究未知数学现象的思考实验，其思考对象和思考方法都具有未知性。这也是数学研究过程中最大的困难。
最简单易懂的思考实验当属从具体事实中归纳猜想。例如我们尝试思考一下，偶数最少能表示成几个素数之和。偶数2 本身是素数，暂且另当别论。除此之外，正如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，100=47+53……所示，偶数一般能表示成两个素数之和。根据上述结论，我们可以从中推出定理“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个素数的和”（这个命题就是著名的哥德巴赫猜想，至今未被证明）。如果调查多个事实能够猜想出定理的形式，那么之后只要思考如何证明该定理即可，也就是说研究的最初难关已经突破。当然，数学中仅仅依靠积累几个事实是无法证明定理的，定理的证明必须另外进行思考。

文章插图

哥德巴赫猜想手稿
初等数论的许多定理就是先由实验结果引发猜想，然后才得到证明。而且，从19世纪末到20世纪初，恩里格斯（F.Enriques ）、卡斯特尔诺沃（G.Castelnuovo）等意大利代数几何学家获得的惊人成果中，依据实验得到成果的不在少数。托德（J.A.Todd ）在其1930年左右发表的论文中曾明确断言：“代数几何是实验科学。”直到最近1，上述几位数学家的定理才全部得以严密证明。不过值得注意的是，尽管他们当时给出的定理证明不够完全，但是定理本身却是正确的。
发现新定理现在数学的研究对象一般都非常抽象，实例也十分抽象，让人难以理解。所以依靠具体事实归纳来猜想定理的方式，在大多数情况下已经难以适用。目前的情况下，关于发现新定理的思考实验方式，我本人也是不得而知。如果将精力都花费在思索新的思考方式上，恐怕难有所得。实际上很多时候无论如何思考都得不到相应的结果。这样看的话，是否可以说数学研究是一份极其困难的工作呢？不过这倒也未必。有时候感觉自己什么也没做，那些应当思考的事情却很自然地呈现在眼前，研究工作也得以顺利推进。夏目漱石在《梦十夜》中对运庆 [1] 雕刻金刚手菩萨像的描述，充分表现了这种感受。这部分内容引用如下：
[1] 日本镰仓时代(1185 - 1333)的高僧, 雕刻技艺十分精湛. - 编者注
运庆在金刚手菩萨的粗眉上端一寸处横向凿刻，手中的凿刀忽而竖立，转而自上而下凿去。凿刀被敲入坚硬的木头中，厚厚的木屑应声飞落，再仔细一看，金刚手菩萨怒意盈盈的鼻翼轮廓已清晰呈现。运庆的运刀方式无拘无束，雕琢过程中丝毫没有任何迟疑。