区间套定理的内容是什么 _什么是区间套定理？怎么证明？

区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推，这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0，则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。
实数系几大基本定理都有什么？实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，。
一、上（下）确界原理
非空有上（下）界数集必有上（下）确界。
二、单调有界定理
单调有界数列必有极限。具体来说：
单调增（减）有上（下）界数列必收敛。
三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）
对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。
四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）
闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。
五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）
有界无限点集必有聚点。或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。
六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）
有界数列必有收敛子列。
七、完备性（柯西收敛准则）
数列收敛的充要条件是其为柯西列。或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。
扩展资料
单调有界定理注意事项
1、单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；
2、数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。
参考资料来源：百度百科——单调有界定理
【区间套定理的内容是什么】参考资料来源：百度百科——实数公理
什么是区间套定理？怎么证明？第七章实数的完备性
设{{an,bn}}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn]，n = 1,2,即
an≤ξ≤bn，n = 1,2,
(具体证明由于有些符号打不出来,从略)
可以在网上查找相关的资料,或者去借一本《数据结构》的书，自己翻阅着看下
闭区间套定理的一个问题不矛盾。
区间套里每个区间都是确定的，比如[ai,bi](脚标i为一个正整数）,它包含了无穷多个点，且这些点都在[a,b]内。
‘只有唯一一个点属于[an,bn],n=1,2,3, ’可这样考虑：设这点为c，在[a,b]任选一点d≠c，则总能找到足够大的n，使得区间[an,bn]的半径小于│d-c│/2,所以点d就不在[an,bn]内。即只有唯一一个点c属于[an,bn],n=1,2,3,
数学分析第七章实数的完备性
目的与要求：使学生掌握反映实数完备性的六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；明确六个基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上的连续函数性质和一些有关命题．了解数列上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系
重点与难点：重点是实数完备性基本定理的证明，难点是实数完备性基本定理的应用
第一节关于实数集完备性的基本定理
一区间套定理与柯西收敛准则
1区间套
定义1区间套:设是一闭区间序列若满足条件
（1）对 , 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中；
（2）即当时区间长度趋于零
则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套
区间套还可表达为:
，
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增,递减
例如和都是区间套但、
和都不是
2区间套定理
定理71(区间套定理) 设是一闭区间套则在实数系中存在唯一的点 , 使对有简言之, 区间套必有唯一公共点
证明（用单调有界定理证明区间套定理）
由假设（1）知，序列单调上升，有上界；序列单调下降，有下界因而有
，
再由假设（2）知
，
记从而有

若还有满足，令，得故是一切的唯一公共点证毕
注：这个定理称为区间套定理关于定理的条件我们作两点说明：
（1）要求是有界闭区间的这个条件是重要的若区间是开的，则定理不一定成立如

显然有，但
如果开区间套是严格包含：，这时定理的结论还是成立的
（2）若，但，此时仍有，，但，于是对任意的，，都有