区间套定理的内容是什么( 二 ) _什么是区间套定理？怎么证明？

全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，该定理刻划实数集是完备的该定理也给出通过逐步缩小搜索范围，找出所求点的一种方法
推论设为一区间套，．
则当时，恒有．
用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．
3数列的柯西收敛准则的证明
数列的柯西收敛准则：
数列收敛的充要条件是：，，当时,有．
（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）
证明必要性
设．由数列极限定义，，，当时有
，，
因而．
充分性按假设，，，使得对一切有，
即在区间内含有中除有限项外的所有项．
据此，令，则，在区间内含有中除有限项外的所有项．记这个区间为．
再令，则，在区间内含有中除有限项外的所有项．记
，它也含有中除有限项外的所有项，
且满足及．
继续依次令，照以上方法得一闭区间列，其中每一个区间都含有中除有限项外的所有项，且满足，，

即是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数（）．
现在证明数就是数列的极限．事实上，由区间套定理的推论，
当时，恒有．
因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得．
二聚点定理与有限覆盖定理
1聚点
定义2设是无穷点集若在点(未必属于 )的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点
数集有唯一聚点 , 但；
开区间的全体聚点之集是闭区间；
设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间
2聚点概念的另两个等价定义
定义对于点集，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即
，则称点为的一个聚点
定义若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为的一个聚点
3以上三个定义互相等价的证明：
证：定义2 定义显然成立．
定义定义由定义，取，；
再取则，且显然；
……
一般取则，且显然与互异；
……
无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列，
且由，易见．
定义定义2，，当时，必有
，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点．[证毕]
4聚点定理
定理 72 (魏尔斯特拉斯聚点定理Weierstrass)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．
证因为为有界无限点集,故存在 ,使得 ,记．
现将等分为两个子区间．因为为有界无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此区间为，则，且
．
再将等分为两个子区间．则两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此区间为，则，且
．
将此等分区间的手续无限地进行下去，得到一个闭区间列，它满足
，，

即是区间套，且每一个闭区间中都含有中无穷多个点．
由区间套定理，存在唯一的一个数（）．
于是由区间套定理的推论，当时，恒有．
从而内含有中无穷多个点，按定义2，为的一个聚点
5致密性定理
推论：任一有界数列必有收敛子列
证设为有界数列．若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的．
若中不含有无限多个相等的项，则在数轴上对应的点集必为有
界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为．于是按定
义 ,存在的一个收敛的子列以为极限
作为致密性定理的应用,我们用它重证数列的柯西收敛准则的充分性
证明充分性
由已知条件：，，当时,有．欲证收敛．
首先证有界．取，则，有
特别地，时
设，则，
再由致密性定理知，有收敛子列，设
对任给，存在 ,当时,同时有
，和
因而当取时,得到

故
6海涅–博雷尔(Heine–Borel) 有限覆盖定理:
1定义(覆盖 )
设为数轴上的点集 ,为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖,或称覆盖．
若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）．
例覆盖了区间 ,但不能覆盖；
覆盖, 但不能覆盖
2．海涅–博雷尔Heine–Borel 有限复盖定理:
定理73(有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．
证明（用区间套定理证明有限覆盖定理）用反证法
设为闭区间的一个无限开覆盖．假设定理的结论不成立：即