区间套定理的内容是什么( 四 ) _什么是区间套定理？怎么证明？

令，, 如果达不到，则恒有
考虑函数，则在上连续，因而有界，设是的一个上界，则
，
从而，
这与是上确界矛盾，因此，使得
类似地可以证明达到下确界
三介值性定理
设在闭区间上连续,且若为介于与之间的任何实数或，则存在使．
证法一(应用确界定理)
不妨设，令
则也是上连续函数,，,于是定理的结论转为: 存在，使这个简化的情形称为根的存在性定理(定理47的推论)
记，显然为非空有界数集
故有确界定理,有下确界,
记因，由连续函数的局部保号性,，使在内，在内．由此易见，，即．
下证．倘若，不妨设，
则又由局部保号性,存在使在其内，特别有
，
但此与矛盾，则必有．
几何解释：直线与曲线相交把轴平移到，则问题成为零点存在问题这启发我们想办法作一个辅助函数，把待证问题转化为零点存在问题辅助函数如何作？
① 从几何上，, 启示我们作
函数；
② 从结果着手
利用零点定理证：令，则在上连续，往下即转化为零点存在问题
证法二( 用区间套定理 )
这里我们证明与介值性定理等价的“零点定理 ”
命题（零点存在定理或根的存在性定理）
设函数在闭区间上连续，即，且与异号，则在内至少存在一点使得即方程在内至少存在一个实根
证明设，将二等分为、，
若则即为所求；若，当时取否则取，将所取区间记为，从而有，如此继续，如某一次中点有终止（即为所求）；否则得
满足：（1）；
（2）；
（3），
由闭区间套定理知，唯一的，，且
由在处的连续性及极限的保号性得
，，
这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊，最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法，以后会经常用到
四一致连续性定理
若函数在闭区间上连续, 则在上一致连续
证法一( 用有限复盖定理)
证明: 由在闭区间上连续性，，对每一点，都存在，使当时，有
(2)
考虑开区间集合
显然是的一个开覆盖，由有限覆盖定理,存在的一个有限子集

覆盖了记
对 ,，必属于中某开区间，设，
即，此时有

故由（2）式同时有和
由此得所以在上一致连续
证法二( 用致密性定理)
证明：如果不然，在上不一致连续，
，，，，而
取，（为正整数），，
而，当取遍所有正整数时，得数列与
由致密性定理，存在的收敛子序列 ,设，
而由，可推出
又得
再由在连续，在中令，得
，
与矛盾所以在上一致连续
作业P1721，2，3，4，5

第三节上极限和下极限
一上（下）极限的定义
对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现例如：
一般地，数列，若：，则称是数列的一个极限点如点例有2个极限点数列的最大（最小）极限点如果存在，则称为该数列的上（下）极限，并记为（）如，
例1求数列的上、下极限
例2设，求上、下极限
二上（下）极限的存在性
下面定理指出，对任何数列，它的上（下）极限必定存在
定理1每个数列的上极限和下极限必定唯一，且
＝，
＝
三上下极限和极限的关系

定理2存在极限则的上极限和下极限相等，
即＝＝
四上（下）极限的运算
普通的极限运算公式对上（下）极限不再成立例如：

一般地有：，当收敛时，等号成立
作业p1751，2，3
如何用确界原理证明区间套定理？帮帮忙非常感谢了！区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠?就可以U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2]U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m②要证m就是X的上确界下面分类讨论1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m',上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了这个比较好证明,就不写具体过程了这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界（根据上确界定义可知）2)m不在X中先证明m任意小邻域里面有X中的数还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数再证X中的数不可能比m大还是反证法,和1)完全类似,就不写了根据上确界的定义,m是X的上确界,就找到了