等腰三角形的判定和性质等边三角形的判定 _知识分享

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有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。在△ABC中， AB＝AC ，则它叫等腰三角形。
其中AB、AC为腰， BC为底边， ∠A是顶角， ∠B、∠C是底角。等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

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1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，注意不能说顶角的平分线、底边上的高线是对称轴。
例题1：如图， AC＝BC ， ∠ACB＝90° ， ∠A的平分线AD交BC于点D ，过点B作BE⊥AD于点E.求证：AD＝2BE.

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分析：由角边角证明△AME≌△BAE得BE=ME ， BM=2BE ，再证明△ACD≌△BCM得AD=BM ，等量代换证明AD=2BE 。有角平分线+高线，通过三线合一可得到中线，但是在解答题中最好不要直接使用，利用全等三角形进行证明。

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本题综合考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形中两锐角互余，等角（或同角）的余角相等。
全等三角形的判定与性质，等量代换、三线合一等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅线构建三角形证明全等。

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2.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
【等腰三角形的判定和性质等边三角形的判定】 等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理。
例题2：如图， △ABC中， ∠C=2∠A ， BD平分∠ABC交AC于D ，求证：AB=CD+BC．

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方法一：先在AB上取BE=BC ，根据SAS证出△CBD≌△EBD ，得出CD=ED ， ∠C=∠BED ，再证明∠A=∠ADE ，得出AE=DE=CD ，最后根据AB=BE+AE ，即可得出答案；

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在前面的文章中，我们讲过，遇到a+b=c这种类型的题目，首先想一下能不能利用截长补短法解决问题，如果不能的话，再去想其它的方法。
方法二：先延长BC至F ，使CF=CD ，得出∠F=∠CDF ，再利用AAS证出△ABD≌△FBD ，得出AB=BF ，最后根据BF=BC+CF=BC+CD ，即可得出答案．

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此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是三角形的外角、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．

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3.操作题
（1）操作实践：△ABC中， ∠A=90° ， ∠B=22.5° ，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）

等腰三角形的判定和性质 等边三角形的判定

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