1、微分方程建模（传染病模型）的求解 。
1、模型1：SI模型 。
假设：（1）时刻人群分为易感者（占总人数比例的）和已感染者（占总人数比例的）（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率 ， 当健康者与病人接触时 ， 健康者受感染成为病人 。
分析：根据假设 ， 每个患者每天可以使个健康者变为病人 ， 因为病人数为 ， 所以每天共有个健康者变为病人 。
即： ， 且 ， 设初始时刻病人比例为 ， 则： ， 用MATLAB解此微分方程： syms a b f=dsolve(Dy=a*y*(1-y),y(0)=b,t)f =1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) %当时 ， 分别在坐标系中作出的图像 ， 坐标系中作出的图像 ，a=0.1 。

2、;
b=0.09;
h=dsolve(Dy=a*y*(1-y),y(0)=b,t)h =1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) f=subs(h)f =1/(1+91/9*exp(-1/10*t)的图像 ezplot(f,0,60) grid on figure (2) fplot(0.1*y*(1-y),0,1) grid on的图像模型分析：（1）当时 ， 达到最大值 ， 则此时病人增速最快 。
（2）当时 ， 即所有的人被传染 ， 全部变为病人 ， 这显然是不符合实际的 ， 其原因是没有考虑到病人可以治愈 ， 人群中的健康者只能变为病人 ， 而病人不会变为健康者 。
2、模型2：SIS模型 。
假设：（1）时刻人群分为易 。

3、感者（占总人数比例的）和已感染者（占总人数比例的）（2）每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为日接触率 ， 当健康者与病人接触时 ， 健康者受感染成为病人 。
（3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ， 称为日治愈率 ， 显然为这种传染病的平均传染期 。
则 。
则建立微分方程模型为：用MATLAB解此微分方程： h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-c*y,y(0)=b,t)h2 =(a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c) pretty(h2)/ exp(-(a - c) t) (-a + 。

4、 c + b a) a(a - c)/|a - - b (a - c)exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c+ -|b (a - c) /化简：即： 。
当（1）时 ， ；（2）时 ，clear h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-a*y,y(0)=b,t)h2 =1/(a*t+1/b)即： 。
定义：一个传染期内每个病人有效接触的平均人数 。
则： ， 用MATLAB作图像：令 ， （） clear a=0.01;
b=0.7;
c=0.05;
h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-c*y,y(0)=b,t);
h22=subs(h2)h22 =-1/25/(1/100-47 。

【特选材料|传染病模型(微分方程)[特选材料]】5、/700*exp(1/25*t) ezplot(h22,0,120) grid on的图像令 ， 分别作图（） a=0.3;
b=0.7;
c=0.15;
h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-c*y,y(0)=b,t);
h23=subs(h2)h23 =3/20/(3/10-3/35*exp(-3/20*t) subplot(2,1,1) ezplot(h23,0,25) grid on b=0.3;
h24=subs(h2);
subplot(2,1,2) ezplot(h24,0,25)grid on的图像（上面 ， 下面）模型分析：（1）时 ， 病人比例越来越少 ， 最终趋于零 ， 这是因为传染期内 。

6、经有效接触从而使健康者变为病人数不超过原来病人数的缘故 。
（2）时 ， 病人比例增减性是由来决定 ， 其极限值随着的增加而增加 。
3、模型3：SIR模型 。
假设：（1）人群分为健康者 ， 其比例、病人、病愈免疫的移出者 。
（2）病人的日接触率为 ， 日治愈率为 ， 传染期接触数为 。
则 ， 对于病愈者而言 ， 设初始时刻的健康者和病人的比例为和 ， 则建立微分方程模型为：由于此微分方程组的解析解无法求出 ， 则转为相平面上讨论解的性质 。
相轨线的定义域应为： ， 由方程组消去并将得：用matlb求解： dsolve(Dy=1/cma/s-1,y(s0)=y0,s)ans =1/cma*log(s)-s-1/cma*log(s0)+s0+y0 p 。

7、retty(ans)log(s) log(s0)- - s - - + s0 + y0cma cma即（相轨线）定义域内 ， 时 ， 分别取 ， 在同一直角坐标系中作出其图像： cma=1;
y0=0.3;
s0=0.65;
clear f=dsolve(Dy=1/cma/s-1,y(s0)=y0,s);
cma=1;
y0=0.3;
s0=0.65;
f1=subs(f);
ezplot(f1,0,1) hold on y0=0.4;
s0=0.35;
f2=subs(f);
ezplot(f2,0,1) hold on y0=0.5;
s0=0.45;
f3=subs(f);
ezplot(f3,0,1) hold onSIR模型的相轨线 y0=0.7;
s0=0.25;
f4=subs(f);
ezplot(f4,0,1) hold on ezplot(1-s,0,1) grid on模型分析：（1）不论初始条件 ， 如何 ， 病人比例越来越少 ， 最终消失 。
（2）最终未被感染的健康者的比例是 ， 在中 。
令时 ， 的单根即为：最终未被感染的健康者的比例 。
在图像上：相轨线与轴在内交点的横坐标 。
（3）当时传染病不会蔓延 ， （如最左边的曲线 ， 随着的增加 ， 病人数在减小） 。
所以提高医疗卫生水平（使日接触率减小或者使日治愈率增大） ， 从而使变大 ， 也可降低（设 ， 则） ， 则 ， 即使免疫者比例增大 。
这其实是比较困难的 。
如 ，。
7材料a 。

来源：(未知)

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标题：特选材料|传染病模型(微分方程)[特选材料]