社会大爆点|椭圆与直线相交的弦长求解

椭圆与直线相交
设直线点斜式方程为y=kx+m ，椭圆方程为

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假如直线与椭圆有交点，交点既在椭圆上也在直线上，那么想要求交点坐标，可解下列方程组

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方程组消去y后，可得到关于x的一元二次方程
【社会大爆点|椭圆与直线相交的弦长求解】

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假如方程无实数解，那么直线与椭圆没有交点，此时直线在椭圆外；假如方程有两个相同的实数解，那么直线与椭圆相切；假如方程有两个不同的实数解，那么直线与椭圆相交。

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求椭圆的弦长
假设直线与椭圆相交，交点为(x1,y1)和(x2,y2) ，有时候我们并不关心交点坐标，但是想求出两个交点之间的间隔(弦长) ，不用求出交点坐标也有办法。
弦长用交点坐标表示为

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交点在直线上，那么可将y用x表示

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那么，弦长可表示为

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由一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理) ，可求出两根之和、两根之积，进而可求出弦长，现推导如下

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特殊情况，当直线经由椭圆焦点时，有下列等式成立

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那么继承化简

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过焦点的弦长为

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