你是否观察过水果商努力地把橙子尽可能多地装进板条箱里？如果你看过，你可能会同意他在装箱时多多少少是按照图1中的样子在做，非常仔细地把每一个橙子有序地码放起来，使每一个橙子周围被其他六个包围，形成一个规则的六边形。在开始摆放第二层的时候，水果商肯定是从第一层形成的“空位”开始摆，这样就能得到第二层的正六边形，但与第一层相互交错。

图1  用橙子填满板条箱的两种简便方法

 

如果纸箱足够深的话，现在还有空间摆放第三层。但是这一次，水果商就会面临一个选择，因为现在有两种摆放的方法。他可以完全遵循第一层橙子的位置来排放第三层。按照这种摆法，可以得到一个“A”层和“B”层交替出现的序列。不过，在第一层中实际存在着两种空位，在图中分别标注为黑色和白色。在添加新的一层时，我们目前还只是用了黑色的空位，所以得到了序列ABABAB……实际上还留下了许多对应着白色空位的“洞”。如果这个水果商足够有创意的话，他可以做一个不同的选择，按照方案“C”来摆放第三层，与第一层不重复。然后，他可以重复整个过程，从而获得序列ABCABCABC……与前一种情况不同。如此不断地增加层数，但逐步减少橙子的个数，就会得到一个类似金字塔一样的结构，这实际上是通常堆放炮弹或展示橙子的方法。

正如你所看到的，即使是堆积球体也不是完全微不足道的。总之，一个好的水果商可以根据自己的经验判断，对于板条箱里容纳的橙子数量而言，这两种方法是完全相同的。实际上可以计算出在这两种情况下橙子占据箱子容积的3/4左右，更精确地说是74.05%。没人能比他做得更好了。

 

物理学家也会对日常生活中的经验想当然。第一个面临球体堆积问题（这里假定球体是坚硬的或者说不易压扁的，对于橙子来说这是合理的假设）的是开普勒，行星运转规律就是由他发现的。他在1611年用炮弹堆积做模型（在他那个时代的布拉格，橙子是供不应求的）来解释为什么雪花放大以后总是表现出非常清晰的六边形对称结构。尽管开普勒痴迷于几何，但是他毕竟是个物理学家，他认为这种摆放球体的方式不言而喻是最紧凑的。但事情远不是这么简单。他的猜测，即现在为人所知的开普勒猜想，在长达四个世纪的时间内使许多一流数学家夜不成眠。

 

为了理解这个问题，我们首先看一下刚刚讨论过的两种摆放橙子的方法。ABC这种摆放方式更容易展示。如图2，可以把板条箱内部的空间（我们假定空间足够大，可以忽略箱壁的边缘效应）分割成一个个相连的小立方体。小立方体的每一个顶角都摆放一个橙子，每一个面的中心也摆放一个橙子。（如果你不能轻松地想象出这一图像，那就买些橙子来，它们对于您的健康也是有好处的。）我们所研究的是晶体结构中的面心立方单元（或者称为FCC晶体）。至于ABA的堆积方式，其基本单元结构描绘起来要复杂得多，被称作六角密集堆积（HCP），正如我们所看到的，这是由一系列交错排列的六边形平面构成。对于FCC堆积结构，每一个球体被其他12个球体所包围。

 

然而，这些还远不是数学上可想象的全部结构。事实上，还存在着更为复杂的单元，有可能包含着十几个球体，允许我们堆积出更为复杂的晶体。历史上最伟大的数学天才，弗里德里希?高斯，最终证明了FCC和HCP确实是最紧密的晶体堆积方式，也就是具有重复序的最紧密的堆积方式。但这还远远不够，我们还未对无序堆积做任何讨论。人们也许会产生这样的疑问，如果有四个球体，在以三角形为基底的金字塔结构的每一个顶角放置一个球体（也就是被称作四面体的结构），将得到更好的堆积方式，因为球体可以占据78%的体积。但是，四面体不能规则地填满空间，也就是说它们无法堆砌出晶体结构，因此这么高的填充比是不可能达到的。不过，我们仍然可以考虑在四面体的不规则排布中加入一些球体来“填补空洞”，这样也许能获得大于74%的填充比。直到1998年,来自密歇根大学的托马斯?黑尔斯将问题简化为“仅仅”需要分析约5000种原则上可能比FCC堆积方法更好的随机堆积方法，按照其分析结果，他宣称开普勒猜想是正确的。数学家们又花了四年时间才最终宣布黑尔斯的证明（大约250页长）“至少99%”是正确的。

图2 面心立方结构的一个结构单元。

 

如上所述，有序排列的硬球最多可以填充大约74%的体积，那么无序堆积最大可以填充多大比例的体积呢？简单地说，如果水果商把橙子随机地扔到板条箱里，到底能放进多少个呢？这其实是一个非常模糊的问题，因为很难解释“随机”到底是什么意思。而且，最大程度随机填充这种模糊的说法在某种程度上本身就是自相矛盾的，因为“最大”意指精确满足某种条件的非常特殊的情况，但真正的随机性却并不遵循任何规则（一些彩票迷们似乎还没有意识到这一点）。因此我们不难理解，为什么数学家们总是倾向于避开这一问题，而不象开普勒那样勇于提出猜想。

 

约翰?德斯蒙德?伯纳尔,爱尔兰实验物理学家，同时在生物学家中也颇具声望，给出了一个相当令人惊叹的答案。伯纳尔不仅是一名出色的科学家，也兼具多重角色。他有着敏锐的头脑，具有意大利、葡萄牙、西班牙和犹太人的混合血统，是一个活跃的、激进的共产主义者，但在对英国霸权主义的战争中却从未对自己国家做出贡献。他还是一个具有丰富和复杂爱情生活的人，完全不像那些迂腐的科学家，沉溺在书堆或者实验室中。说起伯纳尔，他通常最为所知的是其对于晶体学诞生的巨大贡献（对晶体结构的发现），这主要得感谢他对装箱问题的浓厚兴趣。

 

对于数学家们的不作为，伯纳尔丝毫不为所动，他开始着手所有实验学家们都要做的事情：做实验，他把球状物体放入各种容器中并计算出他能放入的个数。很显然，对于一个给定的体积，会有非常大量的“随机”填充方法，而且理论上我们可以预期会得到各种各样的结果。但是伯纳尔却发现，只要按照玉米商们长期以来使用的一些方法，他所的到的结果却出乎意料地相似。大部分情况下，体积占比总是大约为62-64%。从那以后，对各种系统的实验结果也完全证明了伯纳尔的发现，所以现在没有人质疑随机密堆(RCP)球体最大的体积占比约为0.64这一经验假设了。但是为什么RCP值如此明确，它真正的物理意义是什么，依然是饶有争议的问题，也是理解有序和无序本质的核心，而我们对此还缺乏了解。

 

[本文节选改编自《软物质：构筑梦幻的材料》5.1节，Roberto Piazza著，田珂珂、戴陆如、黎明译（上海科技教育出版社）]

来源：京师物理

编辑：loulou

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