【知识点】高考数学空间直角坐标系题例解析【知识点】高考数学空间直角坐标系题例

基础知识

1、右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；

②已知点的坐标P（x，y，z）作点的方法与步骤（路径法）：

沿x轴正方向（x>0时）或负方向（x<0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y>0时）或负方向（y<0时）移动|y|个单位，最后沿x轴正方向（z>0时）或负方向（z<0时）移动|z|个单位，即可作出该点。

③已知点的位置求坐标的方法：

过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c则(a,b,c)就是点P的坐标。

2、在x轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)。

在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c)。

3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b,-c)；

点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c)；

点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c)；

点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,-c)；

点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,-b,c)；

点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(-a,b,c)；

点P(a,b,c)关于原点的对称点(-a,-b,-c)。

4、已知空间两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)，则线段PQ的中点坐标为

5、空间两点间的距离公式

已知空间两点 P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)，则两点的距离为特殊点A(x,y,z)到原点O的距离为

6、以C(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球面方程为

特殊地，以原点为球心,r为半径的球面方程为x2+y2+z2=r2

经典例题

题型1: 认识空间直角坐标系

【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标系中, 方程x=1表示所有横坐标为1的点的集合。

【例1】在空间直角坐标系中，y=a表示

A．y轴上的点

B．过y轴的平面

C．垂直于y轴的平面

D．平行于y轴的直线

【答案】C

【解析】y=a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合，所以y=a表示经过点(0,a,0)且垂直于y轴的平面

题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题

【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系。

【例2】点P(a,b,c)关于z轴的对称点为P1，点P1关于平面xOy的对称点为P2，则P2的坐标为________

【答案】(-a,-b,-c)

【解析】因点P和P1关于z轴对称,所以点P和P1的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点P1的坐标为(-a,-b,c) ；又因点P1和P2关于平面xOy对称, 所以点P2坐标为(-a,-b,-c)

【例3】写出点P(-3,2,-1)关于点A(2,-1,5)对称的点B的坐标

【答案】(7,-4,11)

【解析】设点B的坐标为(x,y,z),则点(2,-1,5)是线段PB的中点，由中点坐标公式可得：

所以点B的坐标为(7,-4,11)

题型3：利用空间两点间的距离公式解决有关问题

【解题思路】转化为距离问题

【例4】已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB恒成立?若存在，求出B点坐标；若不存在,说明理由。

【解析】

设P(0,0,c)B(0,b,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点B，使得PA⊥AB恒成立，则PA2+AB2=PB2

∴[(0-1)2+(0-1)2+(c-0)2]+[(1-0)2+(1-b)2+(0-0)2]

=(0-0)2+(0-b)2+(c-0)2

即3+(b-1)2=b2，

解得：b=2

所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PA⊥AB恒成立。

【例5】已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2)，点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，则A,B两点的最短距离是

【答案】B

【解析】因为点B在xoy平面内的直线x+y=1上，故可设点B为(x,-x+1,0)，所以，

所以当x=1/2时，AB取得最小值

此时点B为（1/2,1/2,0）

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