胡翌霖 | 运算和证明在珠算流行之前

作者胡翌霖 (清华大学助理教授)

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在珠算流行之前，中国人的计算方式主要是筹算，算筹最初就是竹制的小圆棍（图1），也许与八卦的长短棍同源。所谓“运筹帷幄之中”就是运的这些小竹棍了。老子就说过“善数者不用筹策”，可见筹算至少在春秋时期就已经流行了。筹算法用横置的算筹表示1，竖置的算筹表示5，几组算筹横向排列，以十进制表示数字。筹算有一套四则运算的方式，并逐渐发展出开方、列方程等复杂的算法（图2）。

▲图1 汉代骨制算筹

▲图2 日本18世纪教科书讲解筹算

到晚近时期，算盘取代算筹成为主要的算术工具。无论是算筹还是算盘，与笔算相比，其优点和缺点都是可以抹去中间过程，中国的数学始终是重结果、重实用，而不重视过程和证明的。

中国古代的代数方法最初也是由算筹形式表现的，古代中国和古代希腊数学中都没有现代这样以x、y、z、a、b、c等符号表达的简洁的等式，希腊人以几何学的方式做代数问题，而中国人也以某种方式把代数问题空间化。例如汉代的《九章算术》中就用把算筹放在不同方格的形式表达多元一次方程。

在宋代，一套非常精致的代数表达和演算系统被发展出来，那就是“天元术”。天元术以表示常数的“太”出发，最多可以向四个方向延伸，分别为天、地、人、物，延伸的第1格为1次，第2格为2次，以此类推，在相应的格子里放入算筹，负数的话就多加一条斜线。如图3表示方程2x2 + 18x ? 316 = 0

▲图3

▲图4 朱世杰在天元术基础上发展出的四元术，可以处理四元高次方程。

天元术在明朝已经逐渐失传，直到清朝在西学东渐的刺激下，才被中国数学家重新发现其价值。相比西方近代的符号化代数，天元术看起来非常优美，但终究还是缺乏灵活性和普遍性。

在几何学方面，中国人虽然不擅长证明，但在测算方面有所特长，魏晋时期的刘徽《九章算术注》创立割圆术，通过圆内接正192边形的面积，得出π≈3.14，南北朝时期的祖冲之（429-500）父子更是计算到圆内接正6144边形和正12288边形的面积，得出π＝3.1415926~3.1415927，领先西方人将近一千年。

刘徽还著有《海岛算经》（图5），用两次或多次测望所得的数据推算海岛的高度和远近，当然中国人也不是完全不会证明。约成书于公元前1世纪的《周髀算经》就记录了“勾三股四弦五”的规律（图6），但没有给出完整的证明，三国时期的赵爽就这一图解补写了一个漂亮的证明，大致意思是4个直角三角形（ab/2）和一个小正方形（b-a）2加起来等于c2。

▲图5 刘徽《海岛算经》

▲图6 《周髀算经》中的勾股定理

尽管赵爽的证明看起来比毕达哥拉斯学派的证明优美得多，但并不能掩盖中国古代数学与希腊几何学的明显差异。

【本文摘自《过时的智慧——科学通史十五讲》第六讲独树一帜：中国科学史专题，上海教育出版社，2016年7月出版。】

▲《过时的智慧——科学通史十五讲》