【每日一题】距离高考53日。今天，你打卡了吗？
理数
在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
．
（
1
）
求动点
的轨迹
的方程；
（
2
）
设直线
与曲线
交于
两点，与
轴、
轴分别交于
两点
（
且
在
之间或同时在
之外
）
．问：是否存在定值
，对于满足条件的任意实数
，都有
的面积与
的面积相等，若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【解析】
试题分析：
（
1
）
由题意，设
，则
，化简即可得到动点
的轨迹
的方程；
（
2
）
联立
消去
得
，利用韦达定理和
的面积与
的面积总相等
恒成立
线段
的中点与线段
的中点重合，列出方程，即可求解
的值．
试题解析：
（
1
）
设
，则
，整理得
，
∴轨迹
的方程为
（
2
）
联立
消去
得
，
，由
得
．
设
，则
，
由题意，不妨设
，
的面积与
的面积总相等
恒成立
线段
的中点与线段
的中点重合
∴
，解得
，
即存在定值
，对于满足条件
，且
（
据
（
*
）
的任意实数
，
都有
的面积与
的面积相等．
考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【答案】
（
1
）
；
（
2
）
存在，
．
文数
已知函数
．
（
1
）
若函数
在
上恒为单调函数，求实数
的取值范围；
（
2
）
设
是函数
的两个极值点，若直线
的斜率不小于
，试求实
数
的取值范围．
【解析】
试题分析：
（
1
）
求导函数,利用函数
在区间
上为单调函数,可得不等式,即可求得实数
的取值范围；
（
2
）
表示出直线
的斜率,结合韦达定理,代入可解出
的范围.
试题解析：
（
1
）
∵
为
上的单调函数，
∴
对
恒成立，
（
因为
，对
不恒成立
）
．
∴
，
即
；
（
2
）
∵在
处函数
有极值，
∴
，即
，或
，
且
，
化简得
，
即
，
∴
，或
．
【答案】
（
1
）
；
（
2
）
.
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