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其中L=2m/(ρSCd)为空气动力学特征长度 。 上式表明 ， 羽毛球的射程取决于初速度v0和角度θ的大小 。 我猜测学霸应该就是通过对类似公式进行心算来估计羽毛球落点的 。 从质心运动方程可以看出 ， 羽毛球的轨迹和射程还与空气的密度相关 。 而空气的密度又取决于温度T和相对湿度δ[12]：
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其中空气相对湿度0
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图13:羽毛的微观网状结构
实验表明 ， 羽毛球质量（单位：g）随空气相对湿度线性增加：
考虑北方的冬天（假设温度为-10 ， 相对湿度30%）和南方的夏天（假设温度为30 ， 相对湿度90%）羽毛球的飞行轨迹 ， 计算结果如图14 ， 所使用的程序见附录 。
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图14:气温和湿度对羽毛球轨迹的影响
北方冬天和南方夏天空气密度可相差15% ， 并最终导致羽毛的轨迹和射程有明显差异 。 因此 ， 运动员在不同季节和不同地区打球 ， 可不单是身体适应了温度和湿度的变化就足够了的 。 这个结果同样也解释了为何部分选手在打羽毛球之前需要蒸球 。 装逼指南：提前查看天气预报并记住温度和湿度 ， 根据公式计算出空气密度和羽毛球质量 。 在打球时 ， 就可以“指导”迷妹们如何用呼吸感受湿度、皮肤感受温度 ， 来修正羽毛球的轨迹和落点 。
翻转
羽毛球在飞行的过程中 ， 还会出现翻转和振荡微观行为 。 从图5和9的实验中可以看出 ， 迎面飞向运动员的羽毛球都是球头朝前 。 当运动员使用球拍击中羽毛球球头后 ， 球轴朝向会发生180度的翻转 。
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图15:不同角度的羽毛球受力示意图
羽毛球的这种翻转的行为其实是羽毛球的独特结构导致的 。 如图15所示 ， 羽毛球的质量主要集中于球头 ， 而球裙的羽毛却贡献了大部分截面积 。 因此 ， 空气阻力的作用中心和羽毛球质心显然不会重合 ， 这会对羽毛球形成一个净力矩 ， 使羽毛球头部朝向其运动方向转动 。 尽管图15d所示的情况也属于平衡态 ， 但这种平衡是不稳定平衡 ， 极小的气流扰动就能够迅速的破坏这一平衡 ， 使之朝着图15b或c的情况转变 ， 并最终变为稳定平衡状态（图15a） 。
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图16:羽毛球受力分析图
图16左是对羽毛球的受力分析 ， 其飞行速度为v ， 重心为G ， 空气阻力的作用中心为P ， 球轴与速度夹角为φ 。 为了方便分析 ， 我们将羽毛球简化为图16右所示的两个圆球 。 B球表示球裙 ， 其截面积为SB ， 质量为mB 。 C球表示球头 ， 其截面积为SC ， 质量为mC 。 由角动量定理可以推导（过程见附录）出羽毛球以速度方向为平衡位置的振动方程：
考虑到羽毛球重而小的球头和大而轻的球裙 ， 即SB*mC>>SC*mB 。 以及由质心的定义可知mBL_=m_CL_ 。 并假设vB和vC约等于v ， 则上式可化简为
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其中w0^2=ρSBCdv^2/2mL_ ， tau_s=2m_B(1+m_B/m_c)/rhoS_BC_dv 。 上式是一个阻尼振荡方程 ， 描述了羽毛球以运动方向为平衡位置的振动 。 角频率的平方项w0^2对应于空气阻力产生的稳定力矩 ， 而阻尼项1/tau_s则来源于角度变化产生的垂直羽毛球运动方向的速度对应的阻力 。 应用MATLAB中的ode45函数可对以上振动方程和质心运动方程进行耦合求解 ， 图17是通过计算得到的羽毛球自由下落过程 ， 模拟所使用的程序见附录 。
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图17:羽毛球自由下落的计算机模拟
根据振动方程 ， 我们可以估算出羽毛球运动的一些特征时间 。 实验表明（图9） ， 羽毛球翻转的时间小于稳定时间 。 因此在考虑翻转时间时 ， 可以忽略上式中的阻尼项 。 考虑到初始条件：翻转角度和角速度分别为π和点φ0 ， 对上式进行积分有
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则羽毛球翻转时间可表示为
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羽毛球振荡时间可表示为
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羽毛球的稳定时间为
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我们取参数mC=3.0g、mB=2.3g、SB=36cm^2、Cd=0.63 ， L_=2cm和ρ=1.2kg/m^3 ， 从而可以计算出w0=66.6 。 代入上式可得羽毛球翻转时间tf=14ms ， 振荡时间to=94ms和稳定时间ts=127ms 。 这和图9实验给出的翻转时间15ms左右、振荡时间85ms左右和稳定时间130mm左右非常吻合 。
来源：(数学模型)
【傻大方】网址：http://www.shadafang.com/c/gx0HQ0c1R2020.html
标题：数学模型：学会了你就是大神！，林丹也看不懂的羽毛球运动最强秘诀（三）
