按关键词阅读：
也有少量文献研究了羽毛球在飞行过程中的翻转[1] 。 图9显示的是一次实验中羽毛球与球拍碰撞后 ， 球轴与速度方向的夹角φ随时间的演变 。 快照间隔为5ms ， 初始速度v0=18.6m/s ， 初始翻转角速度为w=206rad/s 。
文章图片
图9:羽毛球离拍后的角度与速度夹角[1]
从图中可以看出 ， 与球拍接触后（约1ms的时间）,羽毛球经过tf=15ms的时间 ， 球轴方向发生180的翻转 。 然后 ， 球轴以速度方向为平衡位置进行阻尼振荡 ， 直到球轴与速度方向一致为止 。 振荡时间to=85ms 。 经过约ts=130ms后,球轴与速度方向一致 。
模型
为了分析羽毛球的运动特性 ， 需要对作用在羽毛球上的力加以分析 。 羽毛球被球拍击中后 ， 主要受到重力mg和空气阻力的作用 。 在引入空气阻力之前 ， 我们首先介绍一下流体力学最重要的概念之一 ， 雷诺数：
文章图片
其中ρ表示流体（空气）密度 ， μ表示流体动力粘度 ， v是物体（羽毛球）相对流体的速度 ， D是物体的特征长度 。 雷诺数实际上是流体的惯性力与粘性力比值的量度 ， 雷诺数较小时 ， 粘性力对流场的影响大于惯性力 ， 流场中流速的扰动会因粘性力而衰减 ， 流体流动稳定 ， 为层流；反之 ， 若雷诺数较大时 ， 惯性力对流场的影响大于粘性力 ， 流体流动较不稳定 ， 流速的微小变化容易发展、增强 ， 形成紊乱、不规则的紊流流场 。 在羽毛球运动中 ， 雷诺数大约在10000到200000之间 ， 属于典型的湍流区 。 若假设羽毛球在运动的过程中 ， 迎风截面积不变 ， 则空气的阻力可以表示为
文章图片
上式中右侧负号表示阻力方向与相对速度方向相反 。 ρ为空气密度 ， S为羽毛球的截面积 ， v为羽毛球的速度矢量 ， |v|为速度大小 ， Cd是阻力系数 。 实验表明 ， 在上述雷诺数范围内 ， Cd几乎是常数 ， 大概在0.6到0.7之间[7,8] 。 上式表明 ， 物体在空气（流体）中受到的阻力大小正比于迎风横截面积和相对速度的平方 。 这很容易理解 ， 生活中有很多例子 ， 例如骑自行车速度越大感受到的风阻也越大 ， 专业自行车选手会通过压低身体来减小迎风截面积 。
文章图片
图10:骑自行车受到空气的阻力与车速 ， 迎风横截面积相关
轨迹
为了像学霸一样能够判断出羽毛球的落点 ， 我们需要讨论羽毛球的宏观轨迹 。 从图9的实验中可知 ， 羽毛球在被击出之后 ， 其朝向会迅速掉头 ， 经过很短的震荡过程后朝向会与速度方向保持一致 。 因此 ， 其迎风的截面积在绝大部分时间内是不变的 。 通过上文空气阻力的分析 ， 可知羽毛球的质心运动方程为
文章图片
由dv/dt=0可以确定出羽毛球的最终下落速度
文章图片
如果将羽毛球的运动限定在x-z平面中 ， 则羽毛球的质心运动方程可改写为
其中点点x、点x分别表示水平方向坐标x对时间的一阶导数（速度）和二阶导数（加速度） 。 应用MATLAB中的ode45函数对以上微分方程组进行数值积分可求得羽毛球的轨迹 。 在本文的计算中 ， 我们取羽毛球的质量m=5.3g ， 截面积S=36cm^2 ， 阻力系数Cd=0.63 ， 空气密度ρ=1.2kg/m^3 。 图11为实验（点）和计算（线）得到的羽毛球运动轨迹 。
文章图片
图11:实验和计算得到的羽毛球运动轨迹
结果表明 ， 计算给出的不同初速度和出球角度的轨迹曲线与实验拍摄到的轨迹点非常吻合 。 这也证实了在研究羽毛球的轨迹时 ， 可以忽略羽毛球在运动的过程中迎风截面积的变化 。 计算所使用的程序见附录 。
此外 ， 我们通过轨迹的计算 ， 还可以获得不同速度大小和出球角度的羽毛球射程 。 计算结果如图12所示 ， 所使用的程序见附录 。
文章图片
图12:羽毛球射程与初速度和角度的关系
图中每条曲线上的最高点表示该初速度下最大射程对应的出球角度（最大射程角） 。 可以证明 ， 在忽略空气阻力的情况下 ， 出球角度为45度时射程最大 。 而有空气阻力时 ， 初速度越小 ， 羽毛球受空气阻力影响越小 ， 最大射程角越接近于45度 。 初速度越大 ， 最大射程角越小 。 羽毛球的最高飞行速度可达170m/s[9] ， 容易算出该球速下的最大射程约为15.5m 。 因此 ， 羽毛球不太容易飞出长度为13.4m的羽毛球场 。 这也是羽毛球平均每回合击球数高达13.5次的原因 。 而网球平均每回合击球数只有3.5次[10] 。 网球的最高射程高达67m ， 这远大于只有24m长的网球场 。 装逼指南：这提醒我们装逼要注意科学性 ， 千万不要说出类似“我一拍能打出16米”这样有失逼准的话 。 羽毛球的质心运动方程具有解析解[11] ， 该解析解可以给出近似的射程
来源：(数学模型)
【傻大方】网址：http://www.shadafang.com/c/gx0HQ0c1R2020.html
标题：数学模型：学会了你就是大神！，林丹也看不懂的羽毛球运动最强秘诀（二）
