张朝阳|学物理也要用到基础数学《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元

2月20日12时，《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律，补充了速度分布化为速率分布的细节，引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论，并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的引力计算为例，结合巧妙的积分参数变换，得到具体公式，最终发现球壳所受引力可以等效到其质心上，即质量集中到球心。将球壳积分变为球体也具有同样的结论。

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“今天是复习和反刍的一天。”张朝阳说，“上节课谈了玻尔兹曼在速度场和重力场的分布，今天本来想讲点玻尔兹曼分布更普遍的证明，但比它更重要的，是组合与熵的概念。这样就得学点热力学、学点数学，补充点基础知识。”
区别与联系：麦克斯韦速度分布与速率分布
张朝阳先带着网友复习如何推导麦克斯韦速度分布。“它重点强调理想气体的各向同性，表明速度分布只与速率有关。”他解释说，依据三个垂直方向上速度分布的独立性，可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积；之后取对数，将乘积化为求和的形式，再对某一速度分量求偏导；结合一些简单的变换，就可以用分离变量法，解出各方向上的速度分布，进而回过头来，得到完整的三维速度分布。
利用球坐标系与直角坐标系中体积微元之间的关系，可将速度分布化为速率分布。张朝阳指出，“速率分布显示，粒子速率趋于0时，概率密度趋于0。然而，速度分布却显示，粒子在某方向上的速度为0时，概率密度取到最大值。”
怎么理解这个看似矛盾的结果呢？张朝阳解释说，速度分布描述的是，速度处在速度区间Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz的粒子数，它对x、y、z三个分量都有要求，只要其中一个速度分量超出此区间，就不计算在分布里面。但是，速率分布描述的是速率处在速率区间V~V+dV的粒子数。由速率与速度的定义，可以知道他们并不是一一对应的。一个速率可以对应多个速度。一个速度区间A的粒子，对相应的速率区间dV有贡献；但速率区间dV，包含的不只有速度区间A的粒子，还包含了其它速度区间B、C、D等的粒子。由速率与速度之间的关系，可以看出，当速率越小，其在球坐标系对应的球面越小，直观来讲就是对应的可取速度状态数越少。所以，即使速度分布在各自速度分量趋于0时能取到最大值，对速率分布，当速率趋于0时，对应的状态数急剧下降，概率密度趋于0。
如何定量描述速率区间与速度区间状态数的对应关系呢？张朝阳告诉网友，“这就涉及到球坐标系体积微元的推导。”
几何与变换：球坐标系的体积微元
张朝阳对着示意图边写公式边推导。他说，在球坐标(r,θ,φ)所示的某点上，给θ做一个微小的变化dθ，同时也给φ做一个微小的变化dφ，就会在半径为r的球面上，划出一个边长分别为rdθ 与rsinθdφ的小面积元，其面积大小为r^2sinθdθdφ,若对r再做个微小的变化dr，则会形成一个以前述面积元为底、高度为dr的体积微元，其体积大小是r^2sinθdθdφdr，这就是球坐标区间θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr所对应的体积。

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（推导球坐标系的体积元）
在笛卡尔坐标系里，体积微元是dxdydz；将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后，就可以将直角坐标的体积微元换成r^2sinθdθdφdr再继续积分。当然，类似地，反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。
同理，将x，y，z换成速度Vx，Vy，Vz，速度区间所示的体积微元dVxdVydVz对应到球坐标系里的体积微元就是V^2sinθdθdφdV，其中V是速率。所以当速率趋于零时，体积元以V^2方式减小到零，这就解释了为什么速率趋于零时对应的速率分布值也趋于零。
分割、换元、组合、等效：计算均匀球体的引力
作为球坐标系的一个典型应用，现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力，质点与球心的距离为R，具体参数如下图所示：

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（张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力）
张朝阳继续说明，“设球壳密度为ρ，半径为r的球壳上的小体积元质量为ρr^2sinθdθdφdr，其与质点的距离设为l，则球壳与质点m之间的引力为：”