欧拉公式|数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一——欧拉公式( 二 ) 在这篇文章中

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再说一次，尽管这个级数看起来是无限的，但它是收敛的，因为每个分数的分母比分子增长得快得多，而且这个函数本身有一些惊人的性质让我们能够解释分数指数和负指数的值。
我们知道e的值约为2.71828 ，是当我们把x=1输入这个指数函数时，得到exp(1)=e 。
这个函数最基本最神奇的性质是输入的乘法等于输出的加法：

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输入相加等于输出相乘你自己试试吧。得到一个计算器和计算以下：
exp(3)=20.0855epx(4)=54.5981exp(3)exp(4)=1096.6331exp(3+4)=exp(7)=1096.6331这一点都不平凡，可能没有人会通过看泰勒级数就猜到它。然而，这是一个很棒的性质，它允许我们回答前面的一些问题。
1.将一个数取幂为1/2意味着计算该数的平方根。怎么会这样呢？我们用指数函数之前的性质来计算。
指数分数exp(1/2+1/2)等于exp(1)也就是e 。 exp(1/2+1/2)也等于exp(1/2)exp(1/2) 。所以exp(1/2)等于e因此exp(1/2)等于e的平方根。
2.将一个数取幂为0等于1 。这要归功于多项式泰勒级数当x=0时。
3.将一个数取幂到-1等于1除以那个数。只要知道exp(0)=1就可以很容易地推导出来。
一个负数的指数现在，当我们在exp函数中插入一个虚数会发生什么呢
欧拉公式和复数
要想看到这样做的结果，我们需要回到复平面。让我们计算单位圆上的复数，用粉色表示。

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复平面假设我们有之前的虚数，用欧拉公式描述并在复平面中用橙色点表示。

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如果我们给指数函数一个虚数作为参数，会发生什么？exp(iθ)是什么？

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iθ的指数函数的前四个元素让我们选择一个特定的值，看看会得到什么。取θ=1 ，计算exp(i)的前20个元素，得到复数：0.5403+0.8414i 。这和我们从欧拉公式中得到的值是一样的。
很有趣的是，随着在泰勒级数中加入越来越多的相，这个计算就变得更加精确了，几何上是怎么做的。下面的列表显示了，当我们考虑到前面系列中越来越多的项时， exp(i)的值是如何变得越来越精确的。
泰勒级数中有1项的exp(i)值：1泰勒级数中有2项的exp(i)值：1+i泰勒级数中有3项的exp(i)值：0.5+i泰勒级数中有4项的exp(i)值：0.5+0.83333i泰勒级数中有5项的exp(i)值：0.541666+0.83333i泰勒级数中有6项的exp(i)值：0.541666+0.841666i泰勒级数中有7项的exp(i)值：0.5402777+0.841666i泰勒级数中有8项的exp(i)值：0.5402777+0.841468i泰勒级数有9项的exp(i)值：0.5403025+0.841468i现在，让我们看一些更酷的东西。下面的图显示了当我们增加泰勒级数中考虑的项的数量时exp(i)的值的曲线。每条黄线结束于用这么多元素计算出的复数的值，并表示对前一条的额外添加。

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复平面和exp(i)的值。最后，在添加了5项之后，我们可以看到我们非常接近单位圆上的真实值。我们可以看到，形成了一种螺旋，它越来越接近最终的指数值，我们可以用欧拉公式来验证。这太棒了，它告诉我们一些关于指数的美妙之处。
如果我们使用足够的多项式级数的项exp(iθ)最终总是在单位圆上，绕着它旋转了一个弧度。
如下图所示，与之前的图相同的是不同的数值。

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从前面的图中我们可以看到，如果使用了足够的项， exp(iθ)总是在单位圆中结束。对于任意的值，如果我们在多项式级数中取足够的项这总是会发生的，只要把这些表示级数中额外元素的黄线相加，旋转和相乘就行了。
另外，您可能已经注意到，在最后一幅图中，我们所绘制的是欧拉恒等式。让我们恢复公式，因为这最后的部分也包含一些美丽东西：

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如果我们代入(θ=π) ，我们得到欧拉恒等式，数学和几何告诉我们：常数e的iπ次方为-1 ，没有虚部，也就是公式的右边。