欧拉公式|数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一——欧拉公式在这篇文章中

在这篇文章中，我们将探索欧拉公式，解释它是什么，它从哪里来，并揭示它神奇的性质。
欧拉公式是什么？
欧拉公式是欧哈德·欧拉在十八世纪创造的，是数学界最著名、最美丽的公式之一。之所以如此，是因为它涉及到各种显然非常不同的元素，比如无理数e、虚数和三角函数。
让我们看看它是什么样的：

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欧拉公式正如我们所看到的，左边是e ，右边是cos和sin三角函数，两边都有虚数i 。在我们从微积分和几何的角度研究这个公式之前，让我们先看看这个疯狂的关系是从哪里来的。
欧拉公式的历史
1714年，英国物理学家和数学家罗杰·柯茨在一个公式中建立了对数、三角函数和虚数之间的关系。
二十年后，莱昂哈德·欧拉用指数函数代替对数得到了同样的公式。柯茨的公式如下：

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罗杰·柯茨公式从柯特公式到欧拉公式我们只需要在两边都应用指数。为了将欧拉公式转化为柯特公式，我们用对数反转这个过程。
奇怪的是，每个公式的作者都没有看到它的几何含义，而这正是从这些公式中可以得到的最令人着迷的东西之一。下图展示了一个复平面，我们将在这里看到这些几何内涵。

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复平面，周长为1在此之前，你应该知道，如果我们把欧拉公式的值特殊化为：θ=π ，我们得到了著名的欧拉恒等式。
欧拉恒等式
如前所述，如果我们设θ=π ，欧拉公式就变成了欧拉恒等式。

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现在我们知道了欧拉公式和欧拉等式是什么，让我们把前者分解成单独的元素，然后探究为什么它是一个如此神奇的方程。
余弦和正弦
正弦和余弦是周期为2π的三角函数。这意味着每2个π它们都回到相同的值。下图显示了这些函数：
sin(左)和cos(右)函数如果我们看一个直角三角形，角的正弦和余弦可以用这个三角形的边长来计算，像如下图所示：

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利用直角三角形的边长计算余弦和正弦的值虚数
最初，人们发明数字是为了记录整个物体的数量，这就是自然数的概念。然后，需要一种机制来跟踪某人何时欠了另一个人整件物品。整数诞生了，它是自然数向负数的延伸。
在此之后，需要跟踪整个对象的部分，从而产生了有理数。最后，在数学中发现了描述分数的数字，这些分数的小数部分永远存在，于是无理数诞生了。前面所有的数字都属于实数的范畴。
但虚数的性质完全不同。虚数一诞生，就被认为是一种数学工具用来处理负数的平方根。 i——表示虚数的字母，等于-1的平方根：

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虚数i的值直到欧拉出现，才用这个字母表示-1的平方根，并开始被认为是通用的。此后，它自然出现在各种物理问题中，如电磁定律，或波动动力学。
无理数e
数学常数e是数学中最重要的数字之一。这个常数，尽管它的名字来自欧拉，有时也被称为欧拉数，在这位著名的数学家推广它之前就被发现了。
具体来说，它是由著名的雅各布·伯努利于1683年在研究复合效应和关于投资随时间指数增长的不同计算时首创的。从这个角度，著名数e计算为：

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e的计算这个极限收敛，都知道值约为2.71828 。
尽管这个常数非常重要，但欧拉公式的魔力并不是来自这个精确的值，而是来自这个字母的名字所窃取的函数——指数函数。
指数函数
欧拉公式和实数
指数函数的一般概念是重复乘法：

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重复乘法但是，当我们想到指数是一个平方根，一个负数，一个分数，或者一个虚数时，会发生什么呢？重复乘法的概念不再适用。只有当指数为正整数时，它才成立。
指数函数更精确地定义为以下级数，即著名的泰勒级数之一，我们称之为exp(x)：