西方数学|中国古代数学家和他们的学问( 三 ) 陈子|勾股定理|中国|古代

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《九章算术》刘徽注刘徽对“重差术”进行了比较全面的总结，无论是测量一座山有多高，一条河有多宽，一道沟有多深，都可以用到重差术，其原理就是利用两根或两根以上的标杆，将被测量的对象纳入到一组相关的三角形中间来，又通过三角形之间的关系，算出所要求得的对象。显然，古代的“重差术”，现在叫做“测量”或者“测绘”，也就是陈子提到的“望远起高之术”。重差术经过了实践的检验，刘徽曾自信地说，利用这种方法“虽天穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！”“半周半径相乘得积步”（小）——《九章算术》和直角三角形一样，圆这个几何图形里面，也隐藏着一个大自然的秘密，那就是圆周率。我们的古人实在是太有才华，不管是中国的外国的数学家们，居然如此巧妙地，分别找到了计算圆面积的方法，让人想不佩服都不行。

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重绘《测圆海镜》插图我们试在纸上画一个圆，将这个圆沿直径分成两个半圆，然后：分别将两个半圆像切西瓜一样割成八块，让它们像切好的八块西瓜一样，一个挨一个放在桌子上，或者，想象它们是一把只有八个齿的梳子，现在我们有两把这样的梳子，再将这两只梳子齿对齿地插在一起，于是就凑成了一个近似的长方形，它的短边正好是这个圆的半径，它的长边不是一条直线，而是由六段弧线构成的。让我们再作进一步假设，假设：我们当初不是将半圆分成八份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那么，这条长边就会变成一段近似的直线，这条近似的直线非常接近半个圆周的长度。两千多年前人们计算圆面积的方法就是这样“化圆为方”，将圆周长的一半与圆的半径相乘，正如《九章算术》方田章中所指出的一样：“圆田……术曰：半周半径相乘得积步。”圆面积的计算方法太简单了，简单到就像一层窗户纸，一捅就破。但是，几千年以前的数学家们，不知道花了多大的工夫，经历了多少不眠不休的思考，才终于捅破了这层窗户纸。

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《九章算术》书影2“假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。”刘徽则在他的《九章算术注》里详细写到了如何计算“圆周率”，也就是圆的周长和直径之间的比率。在长期的实践活动中，人们发现圆的周长和直径之间有一个固定的比率，它的数值大约是3，只不过还要多那么一点。《九章算术》方田章的第三十一题是这样的：今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？我们一看这个圆就有点问题，世上并不存在一个直径为十，周长为三十的圆，“径一周三”是中国古代圆周率的“约率”，在《九章算术》整本书里，圆周率采用的都是这个约率，显然，这个约率相当粗糙，给人们的生产生活实践造成了不少烦恼。数学家们清楚，圆周率一定不是3，而是比3稍微大一点的一个数字。追逐圆周率这个大自然秘密的竞赛，就这样开始了。计算圆周率的突破性进展，是由刘徽来完成的。刘徽在为《九章算术》作注的时候，详细记载了用“割圆术”计算圆周率的方法，他正确计算出了圆内接正192边形和3072边形的边长，从而得到了圆周率3.14和3.1416的数值，成为当时领先世界的数学成就，这是我们都熟悉的史实。“割圆术”的办法，就是不断增加圆内接正多边形的边数，让这个多边形的边长不断地逼近圆周的方法。刘徽在《九章算术注》中写道：“假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。”画一个直径二尺的圆，在圆中作一个内接正六边形，正六边形的周长和圆的直径比例为三比一。正六边形的边长恰好与圆的半径相等，利用这一条件，依勾股定理，可以求得这个等边三角形的高。一切从这里开始，按同样步骤重复下去，圆内接正多边形的边长会不断接近圆的周长，求得的圆周率也就会越来越精确。