西方数学|中国古代数学家和他们的学问( 二 ) 陈子|勾股定理|中国|古代

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《九章算术》书影注意陈子所说的“望远起高之术”，这是当时人们在生产实践中，特别是大型的建设活动中，已经熟练掌握的一套测算距离和高度的方法，陈子认为同样可以用来测算太阳的高度。倒霉的荣方思考了好几天，还是想不出问题的答案，不得不第三次去请教，陈子这才原原本本，把这一套方法向荣方讲了一遍，自此，一部《周髀算经》直到结尾，都是陈子的讲话记录。陈子讲得信心十足，却根本没有意识到，他想当然的许多东西，其实都是错的。他不知道他脚下的大地，看似无边无际，平坦无垠，实际不过是小小一丸球，体积仅为太阳的130万分之一，以地球之微来测太阳之巨，无异于“以蠡测海”。除了太阳的高度，陈子还讲了许多问题，天有多高地有多大，太阳一天行几度，在他那儿都有答案，所以人们认为《周髀算经》又是一部天文学著作，记载了不少当时人们已经掌握的天文学知识。书的最后部分，陈子指出：一年有三百六十五日四分日之一，有十二月十九分月之七，一月有二十九日九百四十分日之四百九十九，有零有整，不失精确，而且基本上都是对的。所以，三千多年前的陈子，他的学问也不是那么简单的，虽然他不是全对。“观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”（小）——刘徽（《九章算术注》序）到了三国魏晋时代，中国又出了一位了不起的大数学家，他的名字叫刘徽。

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《测圆海镜》书影根据刘徽的著作，人们推断他生活的时代是“三国魏晋”，他的出身，他的生平事迹则没有人知道，但他的家庭条件比较好应该是可以肯定的，因为从小，他就有机会在老师或长辈的指导下研究数学这门学问，如他自己所称的那样：“幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。”学习数学不是一年两年了，很有心得。刘徽一生的数学成就斐然，其中最为人们熟知的一项，是他详细记录了用“割圆术”算出圆周率“密率”的方法，这在当时绝对是领先世界的数学成就。割圆术刘徽也研究自商高、陈子那时就遗留下来的数学难题：“太阳到底有多高猜想”。刘徽汲取了前人的经验，提出更加完美的方案，假如我们脚下的大地真的是一个大得没边的平面，那么，用刘徽的这套办法，就会真的计算出太阳的高度来，如假包换。他的方案是：立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表间为实，实如法而一，即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股，为之求弦，即日去人也。让我们简单翻译一下，大体上说，他的方案是这样：在洛阳城外的开阔地带，一南一北，各立一根八尺高的标杆，在同一天的正午时刻测量太阳给这两根标杆的投影，以影子长短的差作分母，以标杆的长乘以标杆之间的距离做分子，两者相除，所得再加上标杆的长，就得到了太阳到地表的垂直高度。再以南边一杆的影长乘上两杆之间的距离作为分子，除以前述影长的差，所得就是南边一杆到太阳正下方的距离。以这两个数字作为直角三角形两条直角边的边长，用勾股定理求直角三角形的弦长，所得就是太阳距观测者的实际距离。

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《测圆海镜》书影2当我们按照刘徽的思路，将他的这一套方案具体到一张几何图中的时候，我们就会惊讶地发现，他的方案看似莫名其妙，毫无逻辑可言，实则运用了相似三角形相应边的长成比例的原理，巧妙地用一个中介的三角形，将另外两个看似不相干的三角形联系在了一起。这一切，和我们今天在中学几何课本中学到的方法一模一样。而刘徽其人生活的时代，距今已近两千年了。“虽天穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉！”（小）和陈子一样，刘徽测算太阳高度的方案因为前提的错误，结果当然也是错误的，不过，这套方案本身并不是为了测量太阳的高度而专门设计的，方案的原始目的只是测算地面上的高山大河，测算山有多高，河有多宽，路有多远，只要忽略地球的表面是个球面这一问题，刘徽的方案堪称完美。曾经，在长沙马王堆的汉墓里出土过一幅帛画的地图，人们将它和实际的地形相比较，发现地图惊人准确，考古工作者还利用这张将近两千年前的地图作向导，又发现了周围一带其他的地下遗迹。这看起来似乎很难让人相信，但有了刘徽所记载的这一套测天量地的方法，这也就不算是什么奇迹了。刘徽总结的这一套测天量地的数学方法叫做“重差”。“重差”也是刘徽的一部数学著作的书名，这部著作研究的第一个例题是测算一个海岛有多高多远的问题，因此它还有一个名字叫做“海岛算经”。这部著作篇幅不长，似乎没有出过单行本，长期以来附在《九章算术》的后面，流行于世，所以历代的《九章算术》都有十卷。