水稻|欧拉对“级数”的研究，发现了其他数学家几十年未能发现的结论( 三 ) 考古学家|长江|袁隆平

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巴塞尔问题
欧拉在数学领域获得的第一个令人注目的成绩就是在1735年解决了巴赛尔问题。巴赛尔问题是指求整数倒数的平方和问题，即：
巴赛尔问题是由法国数学家门戈利在1644年提出的，后来这个问题被雅各布伯努利于1689收录在一本名为《没有结论的无穷级数》的书中，并引起了数学家们的广泛关注。
许多数学家都进行过探讨，虽然大家试图考察这类级数的收敛性，但都没有给出级数和的精确值，均以失败告终，其中包括奥雷姆、莱布尼茨、彼得罗·门戈利、雅各布伯努利和约翰伯努利。
1731年， 24岁的欧拉从他的老师约翰．f白努利那里听说了这个难题，经过一年的反复研究，发现了解开这个谜的钥匙，他兴奋的写道：

…完全意想不到，我发现了基于π的一个绝妙公式。

欧拉一共用四种不同的方法来解决巴赛尔问题，最著名的是第三种方法。
欧拉解决这个难题的两个重要环节是：利用正弦函数的泰勒展开，把正弦函数表达为无穷多项式；研究一般的代数有限多项式的性质，将其推广应用到无穷多项式，即将其形式化处理。
首先欧拉给出一个玎阶多项式p(x) ，这个多项式满足有n个非零根a1a2a3… ， an 。且p(0)=1 ，即有：
欧拉令：
再将正弦函数sinx进行泰勒展开得到：
则得到：
当x≠0时，
所以p(x)=0(x≠0)的解等价于sinx=0的解，为x=±kπ ， k=1 ， 2 ， …
则：
即有：
成立。欧拉得到的这个等式非常重要，是解决这个问题的关键。接着，欧拉将这个等式的右端展开，得到：
再根据系数相等，得到
即
在这个过程中，很明显能够看出欧拉处理级数的形式化方案，通过这两个重要环节相结合使用，欧拉发现了其他数学家几十年未能发现的结论。
【水稻|欧拉对“级数”的研究，发现了其他数学家几十年未能发现的结论】欧拉的工作非常重要，特别是关于整数乘方倒数与万之间的巧妙关系，是人类认识的一大进步。