水稻|欧拉对“级数”的研究，发现了其他数学家几十年未能发现的结论( 二 ) 考古学家|长江|袁隆平

1715年泰勒发表了《增量方法及其逆》，奠定了有限差分法的基础。 17世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法（如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等）过渡到了一般的方法。这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数：
泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家。在他之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利和棣莫弗等数学家都研究过此级数。例1717年泰勒运用这个级数求解方程，取得了很好的结果，但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题，在当时影响并不太大。直到1755年，欧拉在微分学中将泰勒级数推广
应用到多元函数，增大了泰勒级数的影响力，随后拉格朗日用带余项的泰勒级数作为函数论的基础，才正式确立了泰勒级数的重要性。后来麦克劳林重新得到泰勒公式在口=0时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数” 。
詹姆斯伯努利与约翰伯努利在级数方面做了大量的工作。詹姆斯伯努利在1689到1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威，这些论文的主题是关于函数的级数表示及其求函数的微分与积分，求曲线下面积和曲线长等方面的应用，所有这些级数的应用是对微积分的重大贡献。
欧拉对级数的研究?随着级数理论的发展，原始的级数思想已经不能解释一些级数，例如渐近级数，循环级数，连分数等等。这使得许多数学家们采用更加形式化的方法来解决级数的问题，欧拉就是其中一位。欧拉的工作非常广泛，他把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目，使得无穷级数的应用和发展到了另一个高度，为后来无穷级数理论的发展奠定了坚实的基础，并为我们展示了许多精妙的思想，留下了深刻的启示。下面从几个方面讨论欧拉的级数思想。
欧拉对级数收敛和发散的认识
形式化观点在18世纪无穷级数的工作中占统治地位，级数被看成是无穷的多项式，并且被当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题没有深入研究。欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特别是用它们进行计算时产生的困难。欧拉将收敛级数定义为， “级数的项不断地减小，当级数的项数趋于无穷时，它的项完全消失，这样的级数被称为收敛级数”“发散级数则就是那些不是收敛级数的级数，即级数项为某个不为零的有限量或趋于无穷的级数。在级数理论研究中，欧拉还运用了一个原则：若级数的部分和是无穷小的，则级数是收敛的。这个原则看起来像柯西准则的非标准版，但却是以一种现代的方式来发现收敛级数与发散级数的差别。欧拉关于收敛级数的定义是不能令人满意的，欧拉也认识到这一点。因为欧拉曾研究过一些级数，级数的项越来越接近于，但和却趋于无穷，如调和级数，欧拉关于这类级数也进行了研究。
调和级数
在18世纪，伴随着级数理论不断发展，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。但对于级数理论本身而言，其中最具启发性的工作是关于调和级数和为无穷的证明。调和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果。
欧拉研究了调和级数：
并能够用对数函数求调和级数的有限项地和。
欧拉是从
出发，于是
带入x=123 ， ……n就得出
各式相加，并注意到每一个对数项是两个对数之差，就得到：
或
其中C表示无穷多个有限算术的和，欧拉近似的计算过C的值，并得到C=0．57721566490153286060651209……这个C现在通称的欧拉常数，用γ（gamma）表示。这是继π、e之后的又一个重要的数。 γ的一个更精确的表示，今天是如下得到的。
上式中，两边减去logn得到：
当n一∞时它趋于0 。
因此
得到了这个关于y的最简单的表达形式，到目前为止，关于γ的性质还没有弄清楚（是否是代数数，是否是超越数）。
欧拉常数——最神秘的数字，调和级数的产物，至今看不清它的面貌