会笑的青豆|史上最轻易想歪的数学定理, 它算老几?

如果说高数中让你一辈子忘不了的定理是夹逼定理，那么最污的定理就肯定不是它了，它委曲能算上是老三。那么老大和老二到底是谁呢？
今天超模君就带大家来见识一下“老二” ，至于老大嘛，大Boss老是最后登场的。那么，现在请以强烈热闹的掌声欢迎我们的“老二”——拉格朗日中值定理（也叫拉氏定理）！
什么！拉格朗是谁？中值又是谁？
假如你有上述希奇设法，那就不得了了，以后绝对能够干大事，不信你看：
数学分析下册：拉格朗日乘数法
抽象代数：拉格朗日定理
数论：拉格朗日四平方和定理
数值分析：拉格朗日插值公式
力学：拉格朗日方程
……
好了， “老二”被黑得好惨，我们暂时放过他，进入正题，开始先容一下这个定理。相信大家对拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange ， 1736~1813）并不目生，拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科领域中都有划时代意义的贡献，拿破仑称他为“数学科学高耸的金字塔” ，是18世纪欧洲最伟大的数学家。

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拉格朗日的缄默
但是拉格朗日中值定理是怎么发现的呢？课本上好像并没有提及。现在的高数教材，一本比一本薄，内容越改越少，删去了许多趣味性的故事和匡助理解的图片，只因这些不泛起在考试中。有一段话说得很好：
美国人写教材：你看数学多简朴，我们聊着聊着就学会了。
中国人写教材：定义xxx ，可以推导出yyy ，此外zzz是更加弱的结论，本书不予证实。
【会笑的青豆|史上最轻易想歪的数学定理, 它算老几?】俄罗斯人写教材：就你这智商还想学数学？赶快转文科吧！
古希腊时代，数学家阿基米德就利用了一个结论（拉格朗日中值定理的特殊情况）：过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底，巧妙地计算出抛物弓形的面积。

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后来，意大利卡瓦列里在著作《不可分量几何学》中给出一个有趣的引理：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。事实上，这不是别的，正好是拉格朗日中值定理的几何意义，它还被称为卡瓦列里定理。

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m为切线斜率跑得太快了，只好手动拖移

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受前人的启发，拉格朗日在《解析函数论》一书中提出拉格朗日中值定理的代数版本，但是证实并不严格。终极由大数学家柯西给出严格证实并推广成为柯西中值定理，法国数学家博（O.Bonnet）也给出了现代形式的拉格朗日中值定理。
知道了“老二”的来源，我们可以来认识一下他的内在了。简朴而言，拉格朗日中值定理就是下图：

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留意桥上标语
这座桥大概是想告诉我们，假如一辆车从桥头行驶到桥尾，用了时间T ，那么在时间T内一定有某一时刻，它的速度正好即是平均速度。
下面给出拉格朗日中值定理的完整形式：

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在图像上表示：

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