克莱因瓶|最近，数学家通过四维空间几何解决了世纪性几何难题：环内的矩形( 二 ) 克莱因瓶

沃恩对闭合曲线上的点对做了类似的处理。他意识到如果你从曲线上取几对点并把它们画出来（不用考虑哪个是x坐标，哪个是y坐标），你不会得到平坦的xy平面。相反，你会得到一个令人惊讶的形状：莫比乌斯带，这是一个只有一面的二维表面。
从某种意义上说，这是有道理的。在曲线上取一对点，标记为x和y ，沿着曲线的一条弧线从x移动到y同时沿着曲线的互补弧从y移动到x 。在此过程中，你移动了曲线上所有的点对，从无序点对开始到无序点对结束。这种无序点的方向翻转回路形成了莫比乌斯带的核心。
该莫比乌斯带为解决矩形桩问题提供了一个新的分析对象。沃恩用这个事实证明了每条这样的曲线都包含至少四个组成矩形的点。
四维的答案格林和洛布的证明建立在沃恩的基础上。但它还结合了其他一些结果，其中一些是最近才得到的。最后的证明就像一个精密的仪器，有正确的想法组合来产生他们想要的结果。
他们的证明最早出现在2019年11月，当时普林斯顿大学的研究生科尔·哈格尔迈耶发表了一篇论文，介绍了一种分析沃恩的莫比斯带的新方法。这项工作涉及一个被称为嵌入的数学过程，在这个过程中，你把一个物体移植到一个几何空间中。格林和洛布最终将哈格尔迈耶的技术应用到另一个几何空间。
下面是一个关于嵌入的简单例子。
从一维的直线开始。直线上的每个点都由一个数字定义。现在把这条线“嵌入”到二维空间中——也就是说，在平面上画出它。
一旦将直线嵌入到xy平面中，该平面上的每个点都由两个数字定义——指定该点在平面中的确切位置的x和y坐标。有了这些设置，你就可以开始使用二维几何技术来分析这条线了。
哈格尔迈耶的想法是对莫比斯带做类似的事情，把它嵌入到四维空间中，在那里他可以用四维几何的特征来证明他想要的关于矩形的结果。

基本上，你已经有了你的莫比乌斯带，对于它上面的每个点，你要给它四个坐标。你给每个点一个四维空间的地址——洛布说

哈格尔迈耶创建这些地址的方式对于寻找曲线上的矩形这一总体目标特别有用。与邮政地址一样，你可以认为他为曲线上的每个点分配了省、市、街道名称和街道编号。
为了做到这一点，他从莫比乌斯带上的一个给定点开始，观察它所代表的原始闭合曲线上的两个点。然后他找到了这两个点的中点并确定了它的x和y坐标。这是四维地址中的前两个值（将它们看作省和市）。
接下来，他测量了曲线上两个原始点之间的直线距离。这个长度成为四维地址中的第三个值（可以把它想象成街道名）。最后，他计算出了通过原始两点的直线与x轴相交的角度。这个角度变成了四维地址中的第四个值（可以把它想象成街道号码）。这四个值有效地告诉了你关于曲线上这对点的所有信息。
这个过程可能看起来很复杂，但它给哈格尔迈耶带来了迅速的回报。他拿起嵌入的莫比乌斯条带并旋转它，旋转后的莫比乌斯条带与原带偏移，因此两个副本相交。（因为旋转是在四维空间中进行的，所以很难想象莫比乌斯带的两个副本重叠的确切方式，但在数学上很容易获得。）
这个交叉点很关键。在莫比乌斯带的两个副本重叠的地方，你会在形成矩形的四个顶点的原始闭合曲线上找到两对点。
为什么？
首先，一个矩形可以被认为是共享中点的两对点，它们之间的距离相等。这正是在嵌入的莫比乌斯带上分配给每个点的四维地址的前三个值中编码的信息。
其次，可以在四维空间中旋转Mobius带，这样您只改变每个点的四坐标地址中的一个坐标，就像改变一个街区内所有房屋的街道号码，但保持街道名称、城市和省不变。