爱因斯坦■三角形内角和一定是 180°吗？绝世传奇，怪诞的非欧几何( 三 ) 相对论

欧几里得的第五公设可以简单地表述为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。对它的否定有两种可能。第一种可能是：在同一平面上，经过直线外一点，不止一条直线与已知直线平行。第二种可能则是：在同一平面上，经过直线外一点，没有直线与已知直线平行。
那么这两种说法哪种对呢？答案是：两种都对。罗巴切夫斯基正是从前者出发，得出了他的罗巴切夫斯基几何学，而黎曼则从后者出发，得到了他的黎曼几何学。我们先来看更早诞生的罗巴切夫斯基几何学。罗巴切夫斯基几何学的出发点是罗巴切夫斯基平行公理：在同一平面上，通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行。我们这里要注意的是，这里的平行意思就是永不相交。
依据这个公理，罗巴切夫斯基得出了一系列的其他定理，我们这里目举几个：
1、在同一平面上不相交的两直线，被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等。
2、同一直线的垂线和斜线不一定相交。
这两个定理可以用图示如下：
在左边的图形中，就是说直线a与直线b是永不相交，即平行的，而且∠α≠∠β 。而右边的图形中，直线a和b永不会相交。
【爱因斯坦■三角形内角和一定是 180°吗？绝世传奇，怪诞的非欧几何】3、三角形内角和小于两直角。
4、两三角形若有三内角对应相等，则两三角形全等。
如此等等，类似的定理还有很多。看得出来，这四个定理与我们在欧几里得几何学中所见过的都大为不同，而且似乎都是错的，不符合我们的直观。然而，如果深究它们，却可以发现在这貌似谬误之下蕴藏着深刻的真理。
我们再来看黎曼几何学。黎曼几何学的出发点是上面否定欧几里得第五公设的第二种可能性，即在同一平面上，经过直线外一点，没有直线与已知直线平行。或者也可以说成：在同一平面上，任何两条直线一定相交。或者还可以说成：世界上并不存在无限延伸的直线，任何直线都是有限的。
为什么这么说呢？我们如果真的沿着欧几里得那种纯粹的“平面”上的直线行走，那么自然永远走不到尽头，也就是说直线是无穷的。但实际上有没有这样的平面呢？没有。举个例子吧，假设我们在大地上的某一点铺一根长长的白纸条，一路铺过去，就像一路将一条直线画过去一样，那么这纸条会不会永远没有尽头呢？答案是否定的。事实上，铺过很长很长后，我们会发现，前面就是我们之前出发的端点。
这样的原因大家都明白：因为地球是一个球体，因此那些我们在地上画出来的直线实际上并非直线，而是曲线。当我们顺着地球表面延伸时，它走过的路实际上有如地球的一条经线或纬线，这样当然必定相交。与直线相应，由直线的一部分线段构成的三角形也差不多，我们现在在纸上画一个三角形，看上去好像是由三条直线构成的，实际上不是，由于它们是画在一张纸上的，而纸是铺在大地上的，而大地表面可不是理想的平面，而是一个球面，因此那三角形也就是一种“球面三角形" 。
这种球面三角形有什么特点呢？它的主要特点就是三内角和大于180° 。这就是黎曼几何学得出的另一个独特的定理，可以看出来，它与罗巴切夫斯基几何学中的三角形三内角和小于两直角刚好相对。进一步地，黎曼设想出了这样一种几何学，它适合各种面，包括平面与曲面。就像在丘陵地带行走一样，它有些地方是平坦的，但有些地方却有着各样的山包高地等。
在这样的地形，两点之间距离的计算公式将随着地点的不同而变化，例如在平面上是直线的，到了山包就是曲线了，二者计算距离的公式当然有所区别。因为这里有了一个所谓“曲率”的问题，而黎曼就是要找到这样一种几何学，它能够根据曲率的不同而自行调整，并且能够计算出各种曲率下的距离等。与线段的长度相似，黎曼认为平面与立体的空间也是这样，它也有着自己的“曲率” ，由于“曲率”的不同，空间呈现不同的形式，他的几何学能够将所有这些空间统一起来。所有这些空间被总称为“黎曼空间" 。