爱因斯坦■三角形内角和一定是 180°吗？绝世传奇，怪诞的非欧几何( 二 ) 相对论

在推演过程中，罗巴切夫斯基得到一连串古怪、非常不合乎常理的命题。这些命题和我们所习惯的直观有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧氏几何那样容易被接受。例如三角形的内角和小于180度。凡是涉及平行公理的结论，罗氏几何的结论都是不成立的。
由于太过超前，所以罗氏几何一直不为主流学术接受。 1855年，适逢喀山大学建校50周年，罗巴切夫斯基作为已经离职的老校长参加典礼，随身带去一部《泛几何学》，系统地记录了他的非欧几何思想，这也是他一生思想的总述。几个月之后， 1856年2月，罗巴切夫斯基去世了，时年62岁。
由于太过超前，所以罗氏几何一直不为主流学术接受。直到1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的罗氏几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也由此得到学术界的高度评价和一致赞美，这时的罗巴切夫斯基则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼” ，可惜他本人已经于1856年去世了。人们后来发现，罗氏几何在研究宇宙空间或原子核世界的时候，比欧式几何更符合客观实际并且在医学上已有独特的应用。
罗巴切夫斯基所创立的非欧几何也只是非欧几何大厦的一部分。可以说，罗巴切夫斯基的非欧几何与欧几里得的古典几何学都只是一种更为广泛的几何学的一部分，在它们之上还存在着一种更新，也更为根本的几何学。这种更为基本的几何学就是黎曼几何学。罗巴切夫斯基几何学与黎曼几何学合起来才是完整的非欧几何学。
黎曼是德国人， 1826年生于汉诺威。父亲是一个新教路德派的牧师，母亲很早就去世了。大约从6岁起黎曼开始学习数学，很快便露出了这方面的天才，十来岁时已经开始学习高等数学了。
1846年，他进入哥廷根大学神学系，但很快转到了数学系。这时候黎曼又开始喜欢物理学，由于埋首钻研物理，他的数学博士论文直到1851年才完稿，然后他将之呈给了伟大的高斯，获得了高斯极高的评价。 1853年底，黎曼向哥廷根大学递交了他的讲师就职论文《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》并顺利获得讲师资格。为了正式上课，他还得进行一次就职演讲，这是一种当堂讲演，类似于上课，听课的学生则是考评他讲课能力的教授们，其中包括高斯。
他就职演讲的题目是《关于构成几何基础的假设》。这个讲演被称为数学史上最著名的讲演之一，黎曼几乎以之勾勒出了一套全新的几何学，这就是黎曼几何学。 1859年，黎曼成为哥廷根大学的天文学教授兼天文台台长，这年他只有33岁。次年，黎曼发表了《关于热传导的一个问题》，在其中发展了二次微分形式。这篇文章有什么意义呢？很简单， 50来年后，爱因斯坦的相对论就是以这种方法为基础的。
黎曼从小健康状况就不好， 1864年底，健康已经恶化的黎曼到了意大利的塞拉斯加休养，住在湖畔的一栋别墅里。一年多后死于此，未满40岁。黎曼虽然一生短暂，但对数学做出的贡献极大，数学里有许多用“黎曼”来命名的数学名词：例如函数论有黎曼方法、关于代数函数有黎曼一罗赫定理、黎曼曲面、黎曼映射定理、黎曼积分、三角级数理论中的黎曼方法、黎曼几何、黎曼曲率、黎曼（函数、黎曼假设，如此等等。
我们知道，两种非欧几何是从否定欧几里得几何学的第五公设出发而建立的。为什么从共同的基础出发会产生两种不同的非欧几何呢？我们还是从第五公设来看吧。