【三角形的各个心 三角形的各个心是什么】#教育听我说#一: " 三角形的重心"
即使我们不知道重心的数学术语解释,也没有关系,我们这么思考:假如一个三角形的木板,我用手指顶在某点,恰好使三角形木板平衡,那么这个点就是三角形的重心 。
上面这段话应该是很好理解的,那么我们如何找到这个点呢?此时,我们先抛开这个三角形,假如我有一个质地均匀的木棍,那么如何找到这个木棍的重心呢?大家都很清楚,我用手指顶着这个木棍的中点,就会平衡,所以:一条线段的重心就是这个线段的中心 。
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我们再回到这个三角形,如果我们把这个三角形分割成很多个细棍(线段),如下图所示:
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那么每条线段的重心都在线段的中点上,所以此三角形的重心一定在所有中点的连线上,也就是说,此三角形的重心在AF这条线段上,
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同理,我们就知道,此三角形的重心也在另外两条中线上,所以,三角形的重心是三条中线的交点 。
二:“ 三角形的外心”
现在我们来研究一下三角形的外心,顾名思义,三角形的外心是指三角形的外接圆的圆心,那么,我们如何求出三角形的外心呢?请看下图:
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三角形的三个顶点A,B,C都在圆O上,所以点O即是三角形ABC的外心,由于AB,BC,AC都是圆O的弦,所以O点必在AB的垂直平分线上,(定理:圆上任意一条弦的垂直平分线必过圆心),同理O点也在BC的垂直平分线上......
因此,三角形的外心是三角形垂直平分线的交点 。
三:“ 三角形的内心”
顾名思义,三角形的内心是三角形内切圆的圆心,那么如何来求内心呢?我们还是先看下图:
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三角形ABC的内心圆心为点O, 三边的切点分别是E,F,G,很显然,E,F,G这三点都在圆O上,我们连接EO,FO,GO,再连接AO,BO,CO,如下图所示:
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由于E,F,G都在圆O上,所以OE=OF=OG
又因为E,F,G都是切点,所以OE垂直于AB,OG垂直于AC,OF垂直于BC,由RT三角形全等定理,我们很容易得到三组全等三角形:
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所以,角度关系如下:
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因此,三角形的内心是三条角平分线的交点 。
四:“ 三角形的垂心”
所谓垂心,即是三条高的交点 。
总结一下:
三角形的重心是三条中线的交点 。
三角形的外心是三条垂直平分线的交点 。
三角形的内心是三条角平分线的交点 。
三角形的垂心是三条高的交点 。
一般高中所涉及的心只有这四种,接下来重磅来袭,在高考中,重心的运用是十分常见的,
三角形的重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1 。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等 。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比 。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小 。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) 。
5. 以重心为起点,以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量 。
最常用的还是1,4,5,希望大家把重心的这三条性质牢牢记在心里 。
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