向量法判断点与线段的关系 向量和线段的联系



向量法判断点与线段的关系 向量和线段的联系

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如上图所示 , 有一点P和线段AB , 已知点P的坐标和线段两个端点(A点和B点)的坐标 。
利用向量点乘的几何意义 , 可以比较简单求解以下几个问题:
  • 求线段AP在线段AB上的投影长度;
  • 求点P在线段AB上的投影点的坐标;
  • 判断点P的投影点是否在线段AB内;
  • 求∠PAB的角度值;
  • 判断∠PAB是锐角、直角 , 还是钝角 。
与向量点乘类似的 , 可以用向量的叉乘来求解以下问题:
  • 求向量AP和AB组成的平行四边形的面积;
  • 若有另外一点Q , 判断向量PQ与AB是否平行;
  • 判断点P在向量AB的左侧还是右侧 。


向量法判断点与线段的关系 向量和线段的联系

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向量的叉乘 , 又叫向量积、叉积 。
向量a和向量b的叉积是一个向量 , 而不是一个标量 。


向量a和向量b的叉积是一个法向量:
  • 该向量垂直于向量a和b构成的平面 , 遵循右手定则 。即将右手食指指向a的方向 , 中指指向b的方向 , 则此时拇指的方向即为法向量的方向 。这一定则意味着叉积满足反交换律:a x b = - b x a 。
  • 该向量的模长是向量a和b组成的平行四边形的面积 。

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根据向量叉乘的几何意义 , 则可以知道:
1、向量叉乘的结果的模长 , 即为这两个向量组成的平行四边形的面积;
2、如果叉乘的结果为0 , 则两个向量方向相同或相反 , 或它们任意一个的长度为0(而点乘的结果为0 , 则两个向量互相垂直);
3、判断点P在向量AB的左侧还是右侧 , 则可根据向量 ABxAP 的叉乘结果 r 来判断 , 根据右手定则:
  • 若 r > 0 , 则点P在向量AB的左侧;
  • 若 r = 0 , 则点P在向量AB上;
  • 若 r < 0 , 则点P在向量AB的右侧 。
【向量法判断点与线段的关系 向量和线段的联系】

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