【历史故事】数学真的那么可靠吗？浅谈历史上数学对人类发起的三次的“背刺”

网上一直流传着一个段子，说是世间万物都会骗你，只有数学不会，因为不会就是不会。这个段子十分诙谐地体现了广大学生朋友被高等数学折磨得心力交瘁又无可奈何的矛盾心理。在我们的印象中，数学似乎是就这样的严谨可靠，以至于连培根都说：数学使人周密。然而深入了解数学史就会知道，历史上数学曾三度“背刺”我们，最后一次的余波到现在依旧尚未平息。
沉入爱琴海的“异端”和第一次数学危机
公元前五世纪是一个璀璨的黄金盛世，在东西方都出现了百家争鸣的文化繁荣景象。当时从希腊公民里涌现出大量奇奇怪怪的学者，他们什么都研究，小到原子大到群星无所不包，其中就有专门研究数的一个学派——毕达哥拉斯学派。

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毕达哥拉斯学派有一个信条是“万物皆数” ，认为世间万物通过一定的数量关系构成和谐的的整体。对于这种数量关系，他们认为均可以以整数和整数的某种比例来描述。这一判断无往不利，直到一位名为帕索斯的成员惊恐地发现，对于边长一个单位的正方形，其对角线长度既不能表示为整数，也不能表示为整数之比。这一发现让学派内部的学者们困惑不已，因为这与学派的推理和直觉完全对立，然而事实又不容反驳，最后惊慌的他们不得已把帕索斯作为“异端”投入爱琴海。

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第一次数学危机揭示了存在整数和分数之外的其它数，无理数的提出最终了结了这桩悬案。这次“背刺“让希腊人不再那么相信直觉了，整数的地位大受打击，而重视演绎推理的几何学则蓬勃兴起，最终促成公理化方法的集大成之作——《原本》（通常译作几何原本）的问世。
无穷和第二次数学危机
极限和微积分可以说是当前许多大学生朋友最头痛的内容，虽然课本上每个字都认识却还是会让人摸不着头脑。同时教材里面的定理和推论一个比一个反直觉，让人不禁吐槽18世纪的古人脑子里都装的是什么东西。实际上这些让人头疼的地方，在当时同样困扰着数学家和哲学家们，以至于对于微积分的基础问题还曾有过长达半个世纪的持续争论，这就是第二次数学危机。第二次数学危机谈论了许多十分尖锐的问题，比较有代表性的如：无穷小是什么，它是不是零。这个问题看似基础，看法却是众说纷纭，即使微积分的两位创始人牛顿和莱布尼茨也没有能给出一个确定无疑且令人信服的结论。无穷小就像一个幽灵，一众学者都把它看在眼里却怎样也抓不住。

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经过半个世纪努力，到十九世纪20年代前后数学家们终于给系统打好了补丁，包括但不限于对连续性的严格定义、函数关系的范围扩充，明确极限和积分等一些列的定义。如今无穷大和无穷小的变量本质终于不再有争议、总的来说，第二次数学危机导致了一段时间内数学乃至其他自然科学中的混乱局面，但它的顺利解决极大地完善了微积分的理论体系，使之更加严谨准确，更是把微积分这一方法推广应用到了更多的学科之中。
理发师悖论和尚未解决的第三次数学危机
不知道大家还记不记得，在进入高中数学的课程时，最先学到的不是函数这根贯穿三年的主轴，而是一个只出现在选择填空题里面的模块——集合。近代数学一经诞生就进入了狂野生长的状态，不断开枝散叶，出现一大堆让人眼花缭乱的分支学科，至今已经有了整整26个。而说起这些分支的基础，也绕不开集合论。这次，数学再次发难，抽走了集合论这一根近代数学大厦的承重柱。一系列悖论在实践中被相继提出，其中举世闻名的罗素悖论给予康托尔的集合论当头一棒。用比较通俗的说法来阐释，罗素描绘了这样一个按照集合论自相矛盾的情形：譬如说，在某城里有一个理发师开了家理发店，还立了一条奇葩的规定，说：”理发的时候，我只会给不自己刮胡子的人刮胡子。 ”

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那么问题就来了，这位理发师朋友该不该为自己刮胡子呢？答案不外乎刮和不刮，但哪一个都和他自己的规矩是矛盾的。罗素悖论一经提出就引起数学界的大地震，它清晰地揭示了康托尔集合论在边界上存在的BUG 。这下数学家们坐不住了，纷纷尝试采用各种方法来解释并化解这一矛盾，但是直接针对悖论的探讨都失败了。最后数学家们“取巧” ，建立了新的公理体系，从根本上绕开了这个悖论，这就是现在最主流的公理体系——ZF公理系统。在ZF公理体系下，罗素提出的矛盾的集合再也不能构建出来。尽管如此，对于第三次数学危机是否已经可以盖棺定论，学界的看法还不一致，有的学者认为当前的解法并不太令人满意，或许在未来才能给这次危机结案了。