一个公式玩转勾股数勾股数公式( 二 ) _小知识

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信息预处理
其中c-b总为1或2，把差为2的勾股数同除以2，再重新排列

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调整排列
这时，规律比较明显了
a逐行增1，依次为：3,4,5,...
b相邻行作差，差值增1：3.5,4.5,5.5,...
c与b类似
根据规律，正推和逆推，补充式子

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新添的式子也都成立
猜想：按规律递推下去，等式始终成立。
▎勾股公式
根据小学“找规律”题的套路，易得

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于是
通过公式，可以生成无穷多勾股数，但未必可以生成所有勾股数。
猜想：公式[an,bn,cn]遍历正整数，再同乘一个整数可以得到所有勾股数。
很快，就遇到了例外：
[20,21,29]不能由递推式生成。
但如果n不取整数，令n=2.5
得
再同乘以8，也可以得到[20,21,29]
原公式有缺陷，需要改进，继续观察：

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公式中，a为一次齐次函数，b和c为二次非齐次函数，缺少对称美
把常数1改为变元m，增加公式的对称性：

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新公式中，abc均为二次齐次多项式
此时，新公式仍满足勾股定理，实际上这就是我们要找的公式。即公式中，m，n跑遍正整数时，可跑遍所有互素勾股数。
P.S. 这是初二时做的探究，过程可能比较啰嗦，但刚好体现了合情推理的过程。
▎回到问题
得到勾股公式（未证），再回顾最开始的两个问题。

互素勾股数[a,b,c]中，总有一个为4的倍数，不妨设为b，最大数为c，则c±b均为平方数。
求包含12的所有勾股数。

公式中
∵b，c为整数
∴m，n同奇偶且m
命题1：
①若m，n同为偶数，则4 | a
且此时[a,b,c]有公因子2 。
②若m，n同为奇数
设m=2k+1,n=2t+1，则

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又∵c-b=m2
c+b=n2
即c±b为平方数，命题1成立。
命题2的一般形式是，求包含k的所有勾股数，在下篇的公式应用中再一并讨论。

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公式的证明及应用，下一篇再继续讨论吧。
* 本文作者王至宏，广州大学数学系大四学生，好玩的数学实习作者。欢迎更多人加入到数学科普写作的队伍，好玩的数学给你一个展示才华的平台。
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