已知三角形三边求面积的公式已知三边求面积 _小知识

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海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式。下面我们利用初中的知识进行推导（注意：公式推导过程的方法比公式更为重要）
题：已知△ABC的三边为a ， b ， c ，求△的面积S 。

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分析：以a为底边，欲求△ABC的面积，只需要求得BC上高。
解：不妨设BC为最大边，作△ABC的高AD（如图）。设BD=x ，则DC=a-x 。
由勾股定理，得
【已知三角形三边求面积的公式已知三边求面积】AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,
所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,
整理，得
2ax=a^2+c^2-b^2,
所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a ，
所以AD^2= c^2-x^2
= c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2 ，
=1/(4a^2)?[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]
=1/(4a^2)?(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)
=1/(4a^2)?[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]
=1/(4a^2)?(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)
=1/(4a^2)?(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c) ，
所以AD=1/(2a)?√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)] ，
所以S=1/2?a?1/(2a)?√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]
=1/4?√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)] ，
令(a+b+c)/2=p（这里的p称为三角形半周长），则
a+b+c=2p ，
b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a) ，
c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b) ，
a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c) ，
所以S=1/4?√[2p?2(p-a)?2(p-b)?2(p-c)]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].
这就是海伦公式，在我国又称为秦九韶海伦公式。公式虽然有点复杂，但和谐好记。
这个公式在实际问题中得到广泛的运用，深受民间百姓的喜爱。有了这个公式，只要将三角形三边的长一代，马上就可以算出它的面积来。由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的，又不会存在大的争议（如果测量一边上的高往往争议不断），所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。

已知三角形三边求面积的公式 已知三边求面积

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