正五边形中的五个有趣的问题( 二 ) _几何

四、正五边形和正方形的相互转化。在数学上，可以把任意一个多边形经过分割、重组变成等面积的另外一个，这在数学上被称为“华勒斯·波埃伊·格维也纳定理”，而其中尤为大家重视的是各种复杂的多边形向正方形的转化。正五边形当然也可以变成等面积的正方形，下左图见于《奇妙的正方形》（【苏】科尔杰姆斯基、鲁萨列夫著，曾一平译，中国青年出版社1955年版），右图见于《圆之吻——有趣的尺规作图》：

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至于具体作图方法，这里就不“剧透”，烦请大家自行研究。如果你已经会了这个问题，那么不妨考虑其逆问题——把一个正方形分割重组为等面积的正五边形，看看哪个作图过程叙述起来比较方便。如果你有其它分割方法，也欢迎发表出来。
五、正十二面体和正二十面体接下来我们要跳出平面的范围，来看看立体几何。在五种正多面体中，和正五边形关系最密切的是正十二面体和正二十面体。

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这两个正多面体有什么关系吗？我觉得其中最惊人的是，如果二者的外接球半径相同，则二者每个面的外接圆半径相等。你能证明这个结论吗？另外，如何在给定的球体内作出内接正十二面体和正二十面体，作这两个多面体还有什么简单方法，请参阅《几何原本》（部分内容见于十五卷本）和《数学的魅力》（沈康身著，上海辞书出版社2006年版）。