如何像数学家一样思考：你清楚优秀的数学家和伟大的数学家之间的区别吗？ _数学家

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▲ 别具一格的形式，用漫画讲数学。400 手绘火柴人漫画，独创漫画讲数学风格
本文会介绍关于“如何像数学家一样思考”的最后一项探索。这样的探索给了我们对常见的数学迷思进行纠错、做出注解的机会。和大多数传言一样，它们都来源于现实生活，也和大多数传言一样，它们都过于“想当然”，忽略了现实的不确定性，缺失了思考。恰恰是这样的思考，使我们成为数学家。
【如何像数学家一样思考：你清楚优秀的数学家和伟大的数学家之间的区别吗？】

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但不管是不是有意为之，学校里的数学总在使劲强调一个明确的信息：
速度就是一切。考试有时间限制。提前做完的人会开始在考场上做作业，考试结束时，铃声响起，学生们仿佛刚刚被迫完成了一场以对数为主题的游戏表演。数学就像一场竞赛，想成功就得快。不得不说，这太愚蠢了。
没错，速度有其不可否认的优势：节省时间。可是在数学中，比节省时间重要得多的是找到那些鞭辟入里的分析见解和轻松优雅的解决方案，这些在 1000 千米/时的速度下都是不可能找到的。仔细思考比快速思考学到的数学知识更多，就像在学植物学时，停下来认真研究一棵草一定比在麦田里狂奔收获更多。

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我的太太是位研究数学的学者，她和我说过数学中一个有趣的发展模式。
第 1 阶段：一个棘手而又令人兴奋的问题出现了，这是一个需要证明的重要猜想。许多数学家跃跃欲试，企图驯服这只野兽，但都没有成功。
第 2 阶段：终于有人通过一个冗长而复杂的方式证明了这个猜想，他的证明过程非常严密，但也极为艰涩，让人难以理解。
第 3 阶段：随着时间的推移，数学家纷纷公开了新的证明方法，证明的过程越来越短、越来越简单。最终，原始的证明方法正式“退役”了，就像爱迪生时代的低功率电灯被更现代的流线型设计淘汰那样。
你可能会不解——为什么这种轨迹会成为数学研究发展的普遍模式呢？

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这么说吧，假设我们要去的目的地叫作“真理”，第一次找到它时，我们通常经历了百转千回，才找到一条艰难曲折的道路。值得肯定的是，走完这条崎岖的小道很需要耐心。但更需要耐心的还在后面。在到达目的地之后，我们还需要保持思考的耐心。只有继续思考，我们才能不断舍弃多余的弯路，筛选出必须保留的步骤。最后，长达 120 页的证明也许就能精简到 10 页了。
1920 年以前，在所有的数学分支中，最枯燥乏味的可能就是代数了。做代数题就像陷进充满琐碎细节的沼泽，或是进入充满技术细节的荆棘丛。这个学科就是这样和细节密不可分。
直到 1921 年，数学家艾米·诺特发表了一篇名为《环域理想理论》的论文。她的同事将这篇论文比喻为“抽象代数学科意识觉醒的一道曙光” 。诺特对分析具体的数字问题不太感兴趣，事实上，她甚至将“数字”这个概念都束之高阁，对她来说，对称和结构才是最重要的。多年后，她的另一位同事回忆道：“正是她教会了我们用简单、普适的术语进行思考。她开辟了一条发现代数规律的路，这些规律在过去是非常模糊的。”对于优秀的数学家来说，掌握详尽的细节是必要的，而要成为伟大的数学家，则必须超越这些细节。
对诺特而言，抽象不仅是一种思维习惯，还是一种生活方式。她的同事说：“她在思考问题时，经常会说回自己的母语——德语。”她爱好徒步，有时会在星期六下午带学生去远足。在路上时，她常因为专注于对数学的讨论忘了看路，学生们还得保护她。
是的，伟大的数学家不太在意人行横道和车流这种琐事，他们的注意力集中在更重要的事情上。

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1998 年，西尔维亚·瑟法蒂对涡流随时间的变化方式产生了兴趣，还写了一本相关的书——《金茨堡 - 朗道磁场模型中的涡旋现象》——却发现自己被这个难题困住了。
她后来说：“其实很多优秀的研究都是从最简单、最基础的事物起步的，数学的进展往往来自对典型事例的（新）认知，这些典型事例就是同类问题中最基本的例子，而且通常计算起来很简单，只是没人想过要从这个角度思考。”遇到问题时，你可以从正门攻打城堡，与防御部队短兵相接。你也可以试着加深对城堡本身的认识，这样也许能发现不堪一击的另一个入口。