牛顿与伽利略所考虑的钟摆问题 _钟摆问题

牛顿出生于伽利略去世的那一年，他彻底地改变了人类对科学的理解，也改变了数学在科学可预见性中的作用。牛顿受到了伽利略和开普勒工作的启发。这些科学巨人准确地描述了动力学和天体力学的现象，但都没有做出科学的解释。这就留给了牛顿，让他对前人观察到的现象作出数学解释。
1687 年他出版的《自然哲学的数学原理》，他公式阐述了三大运动定律，这就能解释伽利略所观测的结果。在书中还描述了万有引力基本定律，即：两个彼此互相吸引的物体受到的万有引力与它们距离的平方成反比。通过几何式的论证，他能够证明，这个力学定律揭示了行星沿圆锥曲线绕着太阳运动。（当然，平方反比定律以周知的曲线形式导出行星运转轨道是一个巨大的巧合）。

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牛顿也在光学领域做出了贡献，他意识到伽利略曾使用的望远镜（基于透镜）存在对不同颜色光的折射情况并不同的问题，于是动手设计了一个基于反射镜的望远镜克服它。使各个角度的光线都汇聚到焦点的反射镜的最好形状，恰巧是抛物面，如此便产生了我们早期见过的反射式望远镜。
并且牛顿的贡献深入到我们生活的方方面面。当他用几何论证来给同时代的人解释问题时，他也（和莱布尼茨几乎同时，但各自独立地）创立了微积分。这是一个关于物体变化率的数学理论，将其运用在牛顿运动定律上便可完美地描述物体的相互作用。把微积分理论应用于现实世界的基本工具是微分方程。比方说，它可以把物体运动情况的变化与作用在物体上的力相联系。微分方程几乎在所有现代应用数学领域都处于核心地位。从金属棒中的热传导到动物皮毛的生长模式，微分方程的应用数不胜数，而且在现代科技中起到至关重要的作用。

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▲ 借由求解热方程式得到的泵浦外壳热分布图（图自维基）
当牛顿还在世的时候，这一切都还是未来的事情！不过牛顿曾考虑过一个伽利略尤为感兴趣的钟摆问题。钟摆的运动可以用一个微分方程来描述，关于摆锤的小角度摆动情况，我们可以从这个方程求出摆动的时间。而解出这个微分方程只需要找到一个对应的一元二次方程的解。
如果 x 是钟摆摆动的角度，牛顿对钟摆长度、空气阻力和引力大小引入参数 a，b，c，则运动的方程可以用下面公式描述出来：

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其中，t 是时间，d2x/dt2 是摆的加速，dx/dt 是摆的速度。
这种类型的微分方程通过使用计算机求出数值解是完全没问题，而且现在应用中也常用这样手段解决很复杂的方程。然而在计算诞生之前，数学家莱昂哈德·欧拉提出了仅依靠解出某一元二次方程，进而得到这类特殊方程解的方法，他提出了这个解的形式：

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这里 e 就是自然对数函数的底数，约等于 2.718281828… 。这个函数的重要意义在于可以用

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替换进这个微分方程并且除以 e^(wt)，对于 w 给出下列方程

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很熟悉吧？！所以对于要解出最初的那个微分方程，我们需要做的是，解出这个一元二次方程并将 w 再替换回去。如此我们便能准确预测摆的运动。
有趣的是一元二次方程不同形式的解（这里在复数域考虑求解）导出了微分方程大相径庭的解。如果 b2>4ac，这个一元二次方程就有两个实数解。
相对应的微分方程有一个看上去像下图的解，在物理上，这个解对应于有摩擦阻力的阻尼摆（或钟摆在如水中的运动）。

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相应地，如果 b2<4ac，那相同的微分方程有振荡解，看上去像下图。那更像我们熟悉的钟摆运动。

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这类能籍由一元二次方程而解出的微分方程（被称作二阶常系数方程）的发现具有重大意义。原因在于微分方程的广泛性，及其对应一元二次方程的解告诉我们原微分方程的解是否可能增大、不变或减小。这对工程师很重要，工程师总是尽力设计安全的结构和机械。在这些结构里，小扰动的快速增长将导致结构故障（称为不稳定性）。