设未知数建立二元方程 数学家李冶与天元术


设未知数建立二元方程 数学家李冶与天元术

文章插图

数学家李冶
李冶(1192年—1279年),原名李冶,字仁卿,自号敬斋,真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人 。金元时期的数学家 。金正大末进士,辟知钧州 。相传李冶原名叫李治,因为朝廷禁止平民和古代帝王同名,而他的名字又和唐高宗的名字相同,于是就减去了一个点,改名叫李冶 。
李冶在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法),用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质 。与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家” 。作有数学著作《测圆海镜》 。
01
李冶自幼聪敏,喜爱读书,曾在元氏县(今河北省元氏县)求学,对数学和文学都很感兴趣 。《元朝名臣事略》中说:“公(指李冶)幼读书,手不释卷,性颖悟,有成人之风 。”
父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响 。在李冶看来,学问比财富更可贵 。他说:“积财千万,不如薄技在身”,又说:“金璧虽重宝,费用难贮蓄 。学问藏之身,身在即有余 。”他在青少年时期,对文学、史学、数学、经学都感兴趣,曾与好友元好问外出求学,拜文学家赵秉文、杨云翼为师,不久便名声大振 。
1230年,李冶在洛阳考中词赋科进士,正大七年(1230),李冶赴洛阳应试,被录取为词赋科进士,时人称赞他“经为通儒,文为名家” 。同年得高陵(今陕西高陵)主簿官职,但蒙古窝阔台军已攻入陕西,所以没有上任 。接着又被调往阳翟附近的钧州(今河南禹县)任知事,为官清廉、正直 。
1232年,钧州城被蒙古军队攻破 。李冶不愿投降,只好换上平民服装,北渡黄河避难 。这是他一生的重要转折点,将近50年的学术生涯便由此开始了 。
李冶北渡后流落于山西的忻县、崞县之间,过着“饥寒不能自存”的生活 。一年以后(1233),汴京(今河南开封)陷落,元好问也弃官出京,到山西避难 。1234年初,金朝终于为蒙古所灭,李冶与元好问都感到政事已无可为,于是潜心学问 。李冶经过一段时间的颠沛流离之后,定居于崞山(今山西崞县)的桐川 。
金朝的灭亡给李冶生活带来不幸,但由于他不再为官,这在客观上使他的科学研究有了充分的时间 。他在桐川的究工作是多方面的,包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学 。其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结,写成数学史上的不朽名著——《测圆海镜》 。他的工作条件是十分艰苦的,不仅居室狭小,而且常常不得温饱,要为衣食而奔波 。但他却以著书为乐,从不间断自己的写作 。据《真定府志》记载,李冶“聚书环堵,人所不堪”,但却“处之裕如也” 。他的学生焦养直说他:“虽饥寒不能自存,亦不恤也”,在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业” 。经过多年的艰苦奋斗,李冶的《测圆海镜》终于在1248年完稿 。它是我国现存最早的一部系统讲述天元术的著作 。
02
所谓天元术,就是一种用数学符号列方程的方法,“立天元一为某某”相当于今“设x为某某”是一致的 。在中国,列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》,书中用文字叙述的方法建立了二次方程,但没有明确的未知数概念 。到唐代,王孝通已经能列出三次方程,但仍是用文字叙述的,而且尚未掌握列方程的一般方法 。经过北宋贾宪、刘益等人的工作,求高次方程正根的问题解决了 。随着数学问题的日益复杂,迫切需要一种普遍的建立方程的方法,天元术便在北宋应运而生了、洞渊、石信道等都是天元术的先驱 。但直到李冶之前,天元术还是比较幼稚的,记号混乱、复杂,演算烦琐 。例如李冶在东平(今山东省东平县)得到的讲天元术的算书中,还不懂得用统一符号表示未知数的不同次幂,它“以十九字识其上下层,曰仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼 。”这就是说,以“人”字表示常数,人以上九字表示未知数的各正数次幂(最高为九次),入以下九字表示未知数的各负数次幂(最低也是九次),其运算之繁可见一斑 。从稍早于《测圆海镜》的《铃经》等书来看,天元术的作用还十分有限 。
李冶则在前人的基础上,将天元术改进成一种更简便而实用的方法 。当时,北方出了不少算书,除《铃经》外,还有《照胆》、《如积释锁》、《复轨》等,这无疑为李冶的数学研究提供了条件 。特别值得一提的是,他在桐川得到了洞渊的一部算书,内有九客之说,专讲勾股容圆问题 。此书对他启发甚大 。为了能全面、深入地研究天元术,李冶把勾股容圆(即切圆)问题作为一个系统来研究 。他讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题,写成《测圆海镜》十二卷,这是他一生中的最大成就 。