三、四、五边形的数学奇迹 _几何

著名的科学普及和数学普及作家马丁·加德纳(Martin Gardner , 1914-2010) 名下有101本非虚构类书籍，也有一些虚构类的。如果他还活着的话，在今年10月21日会度过101岁生日。在过去25年中，加德纳为科学美国人上极具影响力的“数学游戏”专栏提供了大量的数学问题。这些问题中的大部分题目衍生出了更多的问题，而不是问题的答案。这实际上是件好事。
时至今日，“数学游戏”专栏以及它带来的对数学娱乐重要性的认知仍在持续产生着影响，加德纳的读者范围也涵盖了几代人。他的铁杆“粉丝”们依然持续举办着两年一度的邀请制的“加德纳聚会”，而其他的任何人(任何地方)在每年十月都可以举办或参加叫做“头脑庆典”的活动。更重要的是，因为不断提出加德纳难题的新解法和改进旧解法，人们不断地超越自己，突破自己。
接下来，我们怀着轻松的心情，回顾一下加德纳的关于二维平面上图形“剖分”与“平铺”的问题的突破历程——这些曾让大家激动不已的谜题突破历程。值得一提的是，下面有一些结果还是最近才发现的，这让人非常开心，由此证实了加德纳的观点——好玩的数学能真真正正产生的持续不断的研究，更能成为满足好奇心和创造新思想的跳板。
三角形和正方形
“剖分”问题就是把熟悉的图形切开，形成若干个有趣的更小的碎片的问题，而“平铺”问题则要处理与之相对的概念，用大量的某一种或几种特定的小图形来填满一大片空间的问题。
这是加德纳在他1960年2月专栏中提出的一个简单的剖分问题：“给定一个钝角三角形，是否可能将其切成若干个更小的锐角三角形？” 无疑地，最初的数种尝试都失败了，比如下图所展示的(小三角形4不是锐角)

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还有一道更难的，选自加德纳1981年4月的专栏：“将一个正方形分割成互不充叠的锐角三角形，那么小三角形的数量最少可以是多少块？”他自己做出了一个令人惊讶的解答。另一个选自1989年的题目问道：“是否可能将一个边长为整数的正方形三角形划分，且划出的三角形每条边仍是正整数？” 这道至今没被解决的题由Richard Guy所提出，他刚刚以一次飞跃阿西尼博因山山顶的直升机之旅庆祝完99岁的生日。正如Richard在本月的一份电子邮件中评论道，我们仍不知道是否可能在平面上的单位正方形中找到一个点，使得此点与正方形四个顶点的距离都是有理数。
在1958年11月，加德纳提出一个问题，一个正方形是否能够被切成若干个更小的正方形——这些小正方的边长必须为互不相同的整数，而不是类似国际象棋棋盘样子的那种排成方阵简单的形式。从19世纪30年代开始，人们开始了解到这个问题与电网络理论有关联。加德纳提供过的一个近似的答案—— 一个32×33的长方剖分成这样的一些正方形 — 荣登《科学美国人》某月的杂志的封面。

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上面的寻找“正方形中的正方形”问题的真正的解答花了20年，其中的一个解是边长为112单位的正方形，它按照要求被切成了21个正方形。加德纳给出过一个有趣的基本论断，来说明为什么这些方式中没有一种可以适用于三维情况—— 就是说一个正方体不能被拆开成为若干的不相等的正方体。自从40年前读到这个论断起，我就深陷其中。这暗示着，在更高维度下，这些方法也不会有用！
从现在起，我们把正方形的问题放在一边，我们来讨论平铺问题吧。在1979年10月，加德纳写出了老友Golomb在1975年提出的挑战问题：整个无限平面是否能被正方形铺满，而且这些正方形边长还是形如(1,2,3,4....)的整数？
Golomb的挑战问题很长时间没被攻破，2008年，它才被Jum Henle 与他的儿子Fred征服。Jim解释说：“证明的关键在于一个引理 — “对任意给定L形区域都可以通过添加正方形来使其构成一个长方形。”下面的动画展示了此引理对于28x28的正方形和17x17的正方形组成的L形区域成立的情况。(为了看起来方便，正方形都用3D的正方体来表示)

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Henle继续说道：“由这个引理开始，证明就很轻松了。因为一旦构成了长方形，你就可以用之前没出现在拼图中的最小的正方形，把它和长方形拼一起，形成一个新的L形区域(这个L形区域也能通过添加更多的正方形被扩大成另一个长方形，而且此做法可以继续下去) 。” 因此，每个得整数在拼接过程中都能被不遗漏的选择到，而且最后这个平面(立方体的上表面)将被完全铺满。