三、四、五边形的数学奇迹( 二 ) _几何

在他们论文的结尾，作者对满足相同限制的用三角形铺满平面的可行性进行了讨论。讨论中提及另一个至今待定的问题：“整个平面是否能被所有的有理等边三角形所铺满，而且满足所有三角形相邻的三角形的数量都是有限多个？”
这里说一下另外一个比较扯的趣味智力题，加德纳展示了这个将一个由等边三角形构成的梯形(其实是一个triamond，汉语中没找到对应的词汇)切成四块全等的凸块的剖分方法，并寻求一种用五块全等的凸块分割一个正方形的方法。

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事后看来，答案是相当明显的——我们有提过加德纳也是一个顶级魔术师，也因此是位误导大师么？就仅在一个月之前，一份“不存在其他解”的证明被公布出来了。(在由Lipin Yuan, Carol Zamfirescu 和 Tudor Zamfirescu所著的“正方形切成五个全等块的分割”的预稿中)
永远令人惊讶的五边形
将三角形和四边形放在脑后，我们来看看五边形。正五边形无法仅靠自身铺满整个平面，而像等腰三角形，正方形和正六边形却能完美的铺满整个平面，不规则的五边形却可以铺满平面。下面的故事的可能都可以在 Wolfram五边形平铺论证计划网页这个互动项目中看到。这个故事在100年前开始，那时Karl Rheinhardt发现了5中不同五边形平铺，这儿有其中的两种。

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50年之后，在1968年，Richard Kershner发现另外三种形式，并随着Martin在他1975年7月的专栏中的报道，Richard E.James 又发现了一种形式。加德纳及时的在接着的专栏里报道了这件事。而已到中年的圣迭戈的家庭主妇Marjorie Rice在她儿子的一本杂志中读到了这份报告。尽管没受过数学训练，她开始着手探索、组织自己的思绪并开创自己特有的记号来记录自己研究的过程。在1977年之前，通过发现四种全新的五边形平铺平面方法，她令数学界刮起了一阵风暴。这四种方式早先被其他所有人都忽略了，其中的两种展示如下：

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她的一件在1995年发现的成果被数学家Doris Schattschneider采纳，用于华盛顿的美国数学协会本部的瓷砖铺设。

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在1985年，Rolf Stein发现一种新的五边形平铺，这将总数目提升到14种。之后又过去了30年，Casey Mann，Jennifer McLoud 和 David Von Derau，这三位都来自于华盛顿大学博塞尔分校的学者，在2015年7月宣布了第15种方法。如下是它的一种体现形式：

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下面是所有的15种平面平铺，为了方便比较，像博塞尔团队提供的一样，放在一个新的面板中：

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那么还有更多这样铺满整个平面五边形平铺吗？如果还有，一共有多少种这样的平铺呢。博塞尔团队中的印第安人 McLoud（她是她家里第一个拿到大学文凭的人）说：“现在还不知道凸五边形平铺方法数量的上界。”就是说，可能还有几十种，或者有无限种。也有可能就这么多，不再有了。
盖棺了结
仔细看看博塞尔团队五边形是很有建设性的，这个五边形就像一个不规则棺材。也许McLoud和他的同事真的靠着发现最后一种五边形平铺的类型给它钉上了钉子。

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接下来我们来描述得到这个图形的过程：这个形状可被通过折弯一条的5个单位长度的稻草杆子CDEaAB来获得，(这里a代表着图像中线段EA的中点；它也代表着EA的长度)，这之后会如下调整：
在右侧，将AB逆时针旋转120°，使得角A成60° 。在左侧，将CD顺时针扭成直角，之后保持角D90°的同时，将DE也顺时针旋转30° 。EaA保持直线，并且为2个单位长度长。最后，连接将D与B的终点相连：可以看出CB长度为sqrt(2)/(sqrt(3)-1)(sqrt表示开平方)，约为1.93个单位长，同时角C和B各自恰好为105°和135° 。这个五边形可以被拆解成一个等腰三角形、等边三角形以及一个有着“良好”角度的四边形(分别是三角形DCE、三角形BAa、四边形BaEC) 。
一个小孩拿着的稻草杆子瞎捣鼓着把杆子折弯，只要拉开合适的位置，都能轻松地拼出这个五边形。也许，历史的长河中，真有过几次这样的事。如果真有这回事，没有孩子曾意识到他们的发现，他们只会在妈妈叫他吃饭的时候别无他想地扔掉那根稻草杆。那么，又有谁能断定没有某个小孩把稻草杆折成另一种能平铺无限平面的新型五边形呢？他的确是一种孩子能玩的，而且能玩出深入结果的东西（想想前面的主妇）。