来来来，做一个黎曼重排定理的实验( 二 ) _黎曼

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③使用“负项组成的数列”的项求和，使得部分和恰好小于2 。实际上只加上-1/2 ，部分和就小于2：

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④使用“正项组成的数列”余下的项求和，使得部分和再次恰好大于2：

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⑤使用“负项组成的数列”余下的项求和，使得部分和再次恰好小于r=2：

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⑥接下来重复④和⑤ ，于是就得到收敛于r=2的级数：

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有趣吧！
收敛的情形用图像表示如下：

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（改变求和顺序的交错级数收敛到2 。）
同样，改变求和顺序而收敛到圆周率π的交错级数如下所示：

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（改变求和顺序的交错级数收敛到3.14159…）
看起来的确是收敛到3.14159…呢！

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理论上，不管是1.41421356…也好， 5000万亿也好，级数能收敛到你喜欢的实数值。
用于验证的python代码如下所示。有兴趣的话请试着把玩一下。
r = 3.14159265 # 在这里输入收敛到的实数值#r = 2 # 在这里输入收敛到的实数值
def a_pos(n_pos):return 1/(2*n_pos+1)
def a_neg(n_neg):return -1/(2*n_neg+2)
n_pos = 0n_neg = 0sum = 0
pos_neg_flag = 1 # 1: pos, -1: neg
for i in range(5):print("(ans) ".format(2*n_pos+1), end='')if pos_neg_flag > 0:while sum < r:sum += a_pos(n_pos)#print(sum)print("+ 1/{}".format(2*n_pos+1), end='')n_pos += 1else:while sum > r:sum += a_neg(n_neg)#print(sum)print("- 1/{}".format(2*n_neg+2), end='')n_neg += 1print(" =",sum)pos_neg_flag *= -1 # pos, neg改变符号
运行代码后是这样子的：
(ans) + 1/1+ 1/3+ 1/5+ 1/7+ 1/9+ 1/11+ 1/13+ 1/15+ 1/17+ 1/19+ 1/21+ 1/23+ 1/25+ 1/27+ 1/29+ 1/31+ 1/33+ 1/35+ 1/37+ 1/39+ 1/41+ 1/43+ 1/45+ 1/47+ 1/49+ 1/51+ 1/53+ 1/55+ 1/57+ 1/59+ 1/61+ 1/63+ 1/65+ 1/67+ 1/69+ 1/71+ 1/73+ 1/75+ 1/77+ 1/79+ 1/81+ 1/83+ 1/85+ 1/87+ 1/89+ 1/91+ 1/93+ 1/95+ 1/97+ 1/99+ 1/101+ 1/103+ 1/105+ 1/107+ 1/109+ 1/111+ 1/113+ 1/115+ 1/117+ 1/119+ 1/121+ 1/123+ 1/125+ 1/127+ 1/129+ 1/131+ 1/133+ 1/135+ 1/137+ 1/139+ 1/141+ 1/143+ 1/145+ 1/147+ 1/149+ 1/151 = 3.147125289923645
(ans) - 1/2 = 2.647125289923645
(ans) + 1/153+ 1/155+ 1/157+ 1/159+ 1/161+ 1/163+ 1/165+ 1/167+ 1/169+ 1/171+ 1/173+ 1/175+ 1/177+ 1/179+ 1/181+ 1/183+ 1/185+ 1/187+ 1/189+ 1/191+ 1/193+ 1/195+ 1/197+ 1/199+ 1/201+ 1/203+ 1/205+ 1/207+ 1/209+ 1/211+ 1/213+ 1/215+ 1/217+ 1/219+ 1/221+ 1/223+ 1/225+ 1/227+ 1/229+ 1/231+ 1/233+ 1/235+ 1/237+ 1/239+ 1/241+ 1/243+ 1/245+ 1/247+ 1/249+ 1/251+ 1/253+ 1/255+ 1/257+ 1/259+ 1/261+ 1/263+ 1/265+ 1/267+ 1/269+ 1/271+ 1/273+ 1/275+ 1/277+ 1/279+ 1/281+ 1/283+ 1/285+ 1/287+ 1/289+ 1/291+ 1/293+ 1/295+ 1/297+ 1/299+ 1/301+ 1/303+ 1/305+ 1/307+ 1/309+ 1/311+ 1/313+ 1/315+ 1/317+ 1/319+ 1/321+ 1/323+ 1/325+ 1/327+ 1/329+ 1/331+ 1/333+ 1/335+ 1/337+ 1/339+ 1/341+ 1/343+ 1/345+ 1/347+ 1/349+ 1/351+ 1/353+ 1/355+ 1/357+ 1/359+ 1/361+ 1/363+ 1/365+ 1/367+ 1/369+ 1/371+ 1/373+ 1/375+ 1/377+ 1/379+ 1/381+ 1/383+ 1/385+ 1/387+ 1/389+ 1/391+ 1/393+ 1/395+ 1/397+ 1/399+ 1/401+ 1/403+ 1/405+ 1/407+ 1/409 = 3.143260498314515
(ans) - 1/4 = 2.893260498314515
(ans) + 1/411+ 1/413+ 1/415+ 1/417+ 1/419+ 1/421+ 1/423+ 1/425+ 1/427+ 1/429+ 1/431+ 1/433+ 1/435+ 1/437+ 1/439+ 1/441+ 1/443+ 1/445+ 1/447+ 1/449+ 1/451+ 1/453+ 1/455+ 1/457+ 1/459+ 1/461+ 1/463+ 1/465+ 1/467+ 1/469+ 1/471+ 1/473+ 1/475+ 1/477+ 1/479+ 1/481+ 1/483+ 1/485+ 1/487+ 1/489+ 1/491+ 1/493+ 1/495+ 1/497+ 1/499+ 1/501+ 1/503+ 1/505+ 1/507+ 1/509+ 1/511+ 1/513+ 1/515+ 1/517+ 1/519+ 1/521+ 1/523+ 1/525+ 1/527+ 1/529+ 1/531+ 1/533+ 1/535+ 1/537+ 1/539+ 1/541+ 1/543+ 1/545+ 1/547+ 1/549+ 1/551+ 1/553+ 1/555+ 1/557+ 1/559+ 1/561+ 1/563+ 1/565+ 1/567+ 1/569+ 1/571+ 1/573+ 1/575+ 1/577+ 1/579+ 1/581+ 1/583+ 1/585+ 1/587+ 1/589+ 1/591+ 1/593+ 1/595+ 1/597+ 1/599+ 1/601+ 1/603+ 1/605+ 1/607+ 1/609+ 1/611+ 1/613+ 1/615+ 1/617+ 1/619+ 1/621+ 1/623+ 1/625+ 1/627+ 1/629+ 1/631+ 1/633+ 1/635+ 1/637+ 1/639+ 1/641+ 1/643+ 1/645+ 1/647+ 1/649+ 1/651+ 1/653+ 1/655+ 1/657+ 1/659+ 1/661+ 1/663+ 1/665+ 1/667+ 1/669+ 1/671+ 1/673 = 3.141796661628686