数学趣味故事:趣味数学之神奇的几何
接触过几何以后 , 大家一定会更加能够感受到数学的乐趣 , 比如一个始终向上或向下却走不到尽头的阶梯 , 只拥有一个曲面的纸袋圈 , 没有内外之分的瓶子 。是不是觉得不可思议呢?数学就是这么神奇 , 接下来我们就去看看这些神奇的几何图形吧 。彭罗斯阶梯(Penrose stairs)是一个有名的几何学悖论 , 指的是一个始终向上或向下但却走不到头的阶梯 , 可以被视为彭罗斯三角形的一个变体 , 在此阶梯上永远无法找到最高的一点或者最低的一点 。彭罗斯阶梯由英国数学家罗杰?彭罗斯及其父亲遗传学家列昂尼德?彭罗斯于1958年提出 。彭罗斯阶梯不可能在三维空间内存在 , 但只要放入更高阶的空间 , 彭罗斯阶梯就可以很容易的实现 。公元1858年 , 德国数学家莫比乌斯(Mobius , 1790~1868)和约翰?李斯丁发现:把一根纸条扭转180°后 , 两头再粘接起来做成的纸带圈 , 具有魔术般的性质 。普通纸带具有两个面(即双侧曲面) , 一个正面 , 一个反面 , 两个面可以涂成不同的颜色;而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面) , 一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘 。这种纸带被称为“莫比乌斯带”(也就是说 , 它的曲面只有一个) 。莫比乌斯带还有更为奇异的特性 。一些在平面上无法解决的问题 , 却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决 。比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题:人左右两手的手套虽然极为相像 , 但却有着本质的不同 。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去;也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来 。无论你怎么扭来转去 , 左手套永远是左手套 , 右手套也永远是右手套!不过 , 倘若你把它搬到莫比乌斯带上来 , 那么解决起来就易如反掌了 。在数学领域中 , 克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面 , 比如二维平面 , 就没有“内部”和“外部”之分 。在拓扑学中 , 克莱因瓶(Klein Bottle)是一个不可定向的拓扑空间 。克莱因瓶最初由德国几何学大家菲立克斯?克莱因 (Felix Klein) 提出 。在1882年 , 著名数学家菲立克斯?克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子” 。克莱因瓶的结构可表述为:一个瓶子底部有一个洞 , 现在延长瓶子的颈部 , 并且扭曲地进入瓶子内部 , 然后和顶部的洞相连接 。和我们平时用来喝水的杯子不一样 , 这个物体没有“边” , 它的表面不会终结 。它和球面不同 , 一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(即它没有内外之分) 。
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