法庭上的数学证据 _小知识

小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是：法庭上的数学证据。
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故事适合年级：小学【法庭上的数学证据】趣味小故事：求学网数学网为你带来一个好玩的趣味数学故事 ————《法庭上的数学证据》
如果你哪天不留神做错了一道概率题会有什么不堪设想的严重后果?自然是没有的。我想最多也就是考试挂科，补考重修而已。可是对于法庭上那帮戴着假发的人来说，概率没算好可以让无辜的人进监狱，让真正的罪犯逍遥法外。听起来似乎不可思议，但这样的事情真的发生过。
洛杉矶抢劫案
历史上最著名的案例要数1964年夏天发生在美国洛杉矶的一起劫案。一天中午，一位老妇人从杂货店买了东西推着小车回家，途经一条小巷时，突然被一位冲过来的年轻女子推倒，等老妇人醒过神来，发现自己身上的钱包已被偷走，女贼也早跑了很远。虽然老妇人没有看清罪犯是什么样子，可小巷周围的不少住户都曾与这位女子擦肩而过，并且看到她在街头跳上一辆车逃离现场。
后来警方根据目击者描述的犯罪者特征，几天后在附近逮捕了一对夫妻(MalcolmCollins和JanetCollins.Malcolm) 。可是在法庭上，目击者中并没有人能够清晰地指认出罪犯，因此检方很难将2人定罪。于是检察官们想出了一个“新颖的办法”，他们把目击证人说出的几条主要特征列了出来，并且根据洛杉矶地区的数据估算了这些特征会出现的概率：
?黄色的汽车：1/10
?嘴上面有短胡子的男性：1/4
?络腮胡子的黑人：1/10
?马尾辫女孩：1/10
?金发女孩：1/3
?汽车中有肤色不同的夫妻俩：1/1000
检察官找来一位“数学专业人士”，计算了在整个洛杉矶地区符合上述各条特征的夫妇存在的概率，这位“数学专业人士”认为最后的概率应该是6个概率值乘到一起，结果就是1/1200万。检察官据此告知评审团，如此小的概率很难发生，附近地区很难再找到另外一对6项特征全部符合的夫妇，所以这对嫌疑人一定是罪犯。陪审团最终采纳了检方的意见，判定这对夫妇抢劫罪成立。
可是后来加州高等法院驳回了这个判决，他们认为检方使用的概率作为证据的方式是错误的。
首先，概率乘法公式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一定要在A,B,C都是独立事件的时候才成立，可是目击者提供的那些特征并不相互独立，比如留八字胡的男性和留络腮胡的男性这两项，“男性”这个信息是重叠的，而喜欢留胡子的人往往两个位置都会留胡子，两个特征高度关联，同时发生的概率远远大于两个数字相乘。马尾辫女孩和短发女孩也是同样的道理。这样的话，正确的概率可能会是1/1200万的很多倍，并没有那么低。
退一步说，假定概率真的是1/1200万，以案发附近地区有400万人算，至少有2对夫妇符合目击者全部特征的概率是1-(11999999/12000000)4000000，超过30%，也就是说，仅仅根据1/1200万的概率断就判定这对夫妇是唯一的也没有道理。
母亲杀子案
【法庭上的数学证据】 类似的用数学计算来判案还不止一次。1999年，英国也有一次“概率定罪”的案件。一个SallyClark的妇女第一个孩子出生之后几个星期离奇死亡，医生查不出其他病因，只诊断为一种叫SIDS(婴儿猝死综合症)的罕见疾病。随后Clark再次怀孕，第2个孩子也在出生后几个星期死亡，原因再次被诊断为SIDS 。这件事引起了警方的怀疑，警方认为2个孩子有可能是“被猝死”的，将Clark逮捕。
在法庭上，检方引用医生的证明，声称SIDS这种病发病率很低，而且不是遗传病，所以可以把两个孩子的SIDS死亡看作独立事件，相乘之后的概率只有1/7300万。和洛杉矶劫案类似，概率在这里再次被当做一个关键证据。检方以此说服了陪审团，法庭最后认为两个孩子连续得这种突发罕见疾病的概率很低，很难发生，Clark杀死孩子罪行应该成立，被送入监狱。
和上一个故事的结局一样，这个判决后来也被推翻了，Clark被无罪释放。
不妨让我们来看看检方的观点。他们认为P(两个孩子都死于SIDS)=1/73000000，那么P(Clark杀了两个孩子)=1-1/73000000=72999999/73000000，几乎是铁定的事实。
但是，检方疏忽了一个非常关键的事实，那就是上面这个推理只有在P(两个孩子都死于SIDS)+P(Clark杀了孩子)=1时才成立。事实上，除了这两种情况外还有其他可能，检方并不能完全排除。
英国皇家统计学会后来指出，真要计算的话，一位母亲连续杀死自己两个亲骨肉这样极其变态行为发生的可能性同样是极低的，甚至低于两个孩子都死于SIDS病的可能性。在判断概率的时候，不能只看P(两个孩子都死于SIDS)有多小，还要看和P(母亲连续杀死两个孩子)做相对比较。最后上诉的一方凭借更加全面的解释和一些新证据(比如第二个孩子可能受过细菌感染，有可能既不是死于SIDS，也不是被杀)成功地为Clark洗脱罪名。