数学为什么不能除以零 _小知识

小编来今天给同学们带来的趣味数学故事是：数学为什么不能除以零。
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故事适合年级：小学【数学为什么不能除以零】趣味小故事：除以零确实是个困扰很多人的问题。十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少?小学数学就会告诉你，答案是不能除。但是为什么?零也是个数字，它到底哪里特殊了?
小学篇
小学算术里，这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”，分成一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10个饼干分给0个人呢?想象不出来嘛!所以不能除。
【数学为什么不能除以零】 敏锐的同学可能会想到，要是0个饼干分给0个人的话，本来无一物，好像就没关系了。但既然无物也无人，每个人分得多少都是可能的呀，根本无法给出一个单一确定的数值。
这结论没错，但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来，不一定意味着它没有。远古时代的数学是建立在直觉上的，买菜是够用了，但要进一步发展，就必须要有定义和证明——所以，我们上了中学。
初中篇
现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发现，除法和乘法互为逆运算，所以问
1 / 0 = ?
就等于是解方程
0 * x = 1
好了，按照定义，0乘以任何数都是0，不可能等于1，所以满足x的数字不存在，所以不能除。
同样，如果问
0 / 0 = ?
就等于是解方程
0 * x = 0
同理，任何数字都可以满足x，所以也不能除——无法确定一个单一的答案。
高中篇
等到接触了基本的形式逻辑，我们又会发现另一种证明方式：反证法。
一堆真的表述，不能推出一个假的表述，所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述，最后推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成立了。
所以，已知
0 * 1 = 0
0 * 2 = 0
推出 0 * 1 = 0 * 2
两边同时除以零，得到 ( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2
化简得到 1 = 2 。这显然是错的啦。
那么，问题解决了吧!其实还没有。想想另一个问题：-1的平方根是多少?
你可能会说，-1不能开平方根，因为所有数的平方都是非负的。但是这说的是实数，我要是增加一个定义呢?定义i^2=-1，这就创造出了虚数，于是-1也能开平方根了。
那么，为何不能定义一个“新”的数，让 1 / 0 也等于它，并为这个数设立一套运算法则呢?这就得去大学里回答了。
大一篇
刚学微积分课程就会立刻接触到∞这个符号。咦，这不就是“无限”嘛。我们都学了极限的概念了，那么我令b趋向于0，然后把a/b的极限定义为无穷，不行吗?
这就立刻遇到一个问题，它的左极限和右极限不一样啊。b是从负的那头靠近0，还是正的那头?这一个是越来越负，一个是越来越正，碰不到一起去。这样的极限是没法定义的。
因此，微积分课程里会反复说，虽然用到了∞这个符号，但是这只是代表一个趋势，绝对不是一个真正的数，不可参与运算。
大二篇
那么吸取教训，我不用现成符号了，我直接定义 1 / 0 = w，w是个“无限大”的数，不碰什么极限，你总没话说了吧!
然而，定义不是说来就来的，你虽然可以随便定义东西，但定义完了如果和现有的其他系统矛盾，那就不能用，或者很不好用。
而我们面对w立刻就遇到了问题。首先，w要怎么放入基本的加减乘除体系里?1 + w等于多少?w - w等于多少?如果你造了一个数，却连加减乘除都不能做，那就不是很有用对吧。
比如直觉上，1 + w 应该等于 w，它都无限了嘛! 而 w - w 则等于0，自己减自己嘛!
但这样立刻会和加法里极其重要的“结合律”产生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0 。结合律是加法里非常基本的东西，为了一个w，连结合律都不要了，这成本有点大——不光是结合律本身，多少数学定理证明过程中不自觉都用了它，扔了它就都得重来，建立新体系。新体系不是不能建，但是费心费力又(暂时)无卵用，所以大家还是在老实用旧的——而旧的里面，为了保住结合律，就不能这么玩。
欢迎读者们发挥自己的想象力，尝试为 w 给出运算方式。但是你会发现，无论怎么规定w和别的数字之间的关系，只要你还坚持 1 / 0 = w，你就没法让它和你从小学习的基本数学不矛盾。还是那句话，你可以另立门户，在w的基础上建立起你的新数学，但它和大部分传统数学是不相容的，而且肯定会非常不好用，所以我们用了一个不能除以零的体系是非常合理的。