数学为什么不能除以零( 二 ) _小知识

大三篇
你可能会提出反对：有那么多的定义方式，我都试过?要是没试过，我怎么知道不会某一天冒出来一个能够自洽的办法?
“新发现推翻旧结论”这种事情，在生物里可以有，化学里可以有，物理里可以有，唯独数学里没有。因为数学建立在逻辑上，个案有例外，逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化，还要面对哥德尔的幽灵，但至少在这个例子里，如果w是一个真正的数，那它就违反了一些非常重要的公理，而这些公理的地位可是非常之深。
比如有一组基本的公理叫“皮亚诺公理”，其中有一条说，每一个确定的自然数都有一个确定的后继，后继也是自然数;另一条说，自然数b=c，当且仅当b的后继=c的后继。
那w是谁的后继呢——或者说，谁加上1能得到w呢?显然所有其他的数字都已经有了自己的后继，w在其中没有位置，没有任何其他的数加上1能成为w 。那么就只能是1+w=w了，可那就直接和第二句话矛盾。而没有皮亚诺公理，整个自然数的体系都不能成立。
这里假定w是自然数。其他情况会略微复杂一些，但无论如何，类似的事情发生在w的各种定义里。如果你想把w当成一个数，那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在几乎所有场合下都只能宣布，不能除以0 。
大四以上篇
既然我们之前说了个“几乎”，那就是有例外的——在个别奇葩场合下，可以。
比如有一个东西叫做“复无穷”，它是扩充复平面上的一个点，真的是有定义的一个点。在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式。这么做的原因就说来话长了，但它不是平常意义上的运算——比如你不能把0拿回来，不能写 1 = 0 * ∞ 。
另外，“无穷”二字在一些别的场合下是可以当成一个“东西”去对待的。比如当你衡量一个集合的大小的时候，它可以是无穷大的。但这就有很多种不同的无穷大了——自然数是无穷多的，有理数是无穷多的，实数也是无穷多的，可是奇数和偶数和正整数和负整数和自然数和有理数都一样多，而实数却比它们都多!同样是无穷，有的无穷比别的无穷更无穷。但这就是另一个话题了，打住。
总结篇
所以，当我们说不能除以零的时候，理由……竟然出乎意料地充足。有许多直觉在数学里被推翻了，但是这一条没有。我们有种种数学上的方式去证明它无法成立的原因，虽然也许听起来不如Siri的回答那么心暖(或者心寒)，但这些理性的愉悦也是一种美丽，对吧?