《最强大脑》上周玮的3道数学题，应该怎么算?( 二 ) _小知识

如果你对对数不太熟悉的话，还有另一种估算法。首先，我们把 63近似为 200，然后重复上面的步骤：
(6^3)2=4 0000
((6^3)2)2=16 0000 0000
6×((6^3)^2)^2=96 0000 0000≈100 0000 0000
在需要计算数量级的时候，这个精度是够的。
在进行这种大数计算的时候，可以使用科学计数法的e代替末尾的一系列0 。比如，最后一行可以读成 96e8≈1e10 。事实上，这可以看作是对对数的一种应用，但是在脑子里计算的时候会简单很多。
如果对这个精度无法接受或想要确认误差的话，可以从误差来源判断：主要的误差来源于把 216 近似成 200 的时候带来了 +8% 的误差，然后这个 +8% 的误差被平方了两次，所以误差变成了 8%×4 = 32% 。因此进行误差修正后，就会得到 1.32×1010 的结果。你大可以对最后一步，把 96 近似成 100 带来的 4% 误差，也纳入考虑，那样就会得到 1.28×1010 的结果。无论是哪种结果，和准确值的实际误差都是 2% 左右。
看似吓人的开高次方，其实没有那么可怕
再来看第二道题：

文章插图

实际上，对于一个普通人，不使用计算器的情况下，完全以手动方式求一个很大数字开n次方根，并不需要高深的数学，只需要依靠加减乘除和一些简单的对数计算法则就可以。
依然以周玮的这道题为例，首先

文章插图
【《最强大脑》上周玮的3道数学题，应该怎么算?】
1391237759766345数字太大，不妨近似一下：

文章插图

根据 10<13.9<24，可以估算出lg(13.9)介于1到1.2之间。
所以 13.9 的 14 次方根的对数值，应该是比0.1小一些(实际上是在0.07-0.08左右) 。于是，

文章插图
的对数，就应该比1.1小一些。

如果利用之前写过的 100.1≈1.26，可以得到

文章插图
< 101.1 ≈ 12.6 。准确的值肯定小于这个数字。

另外一种做法是通过试乘法计算。由于这个题目给的数据范围，我们几乎一定可以把答案的范围限制在 10-13 左右。所以如果只需要一位精度，那么我们可以试着去估算 1.1，1.2，1.3 这三个数的 14 次方，并和给定值进行比较。如果需要更高位精度的话，这种做法就略显无力了。
至于节目中第3道题，也是类似。

文章插图

首先将整个算式转化成对数，首先提出一个10，把式子变成：

文章插图

这时需要估算lg(3.2)，即：
lg(3.2) = lg(32*0.1)=lg(32)+lg0.1=lg(2^5)+(-1) = lg(2)×5-1
于是，上面的这个式子就变为：
lg(2)×7+(lg(2)×5-1)/13+1 = 0.3010×7+(0.3010×5-1)/13+1 = 3.147
最后计算103.147 = 1000×100.147 。后面这部分可以粗略估算为0.147是lg(2)的一半，所以最后的结果是

文章插图
，再乘以1000等于1400左右。

没有计算器，没有对数表，也没有超强的大脑，只要对于精确度要求不是很苛刻，徒手计算出一个巨大数字的次方根完全可能。并且，这样的方法不止一种。即便如此，想要快速报出答案，一些必要的练习还是免不了的。只可惜，现代数学研究几乎不需要这种速算能力了。
心算能力在现在这个设备与技术齐全的时代来说，更为主要的用处是对构造出的公式进行初步的估算和简单的合理性验证。如果需要更高的精度，使用计算机更简单。
最后讲一个小故事
两列火车相隔 200 公里，各以每小时 50 千米的速度相向而行。一只苍蝇从其中一列前端出发，以每小时 75 千米的速度，在两列车之间来来回回飞个不停，问：直到两车相撞，苍蝇飞过的总距离是多少?
这当然是一道级数求和的题。但它有另一个巧妙的解答：既然两车相隔200千米，每小时各行驶 50 千米，它们要过 2 小时才相撞。所以，苍蝇飞了2小时，因此它必定飞了150千米。你看，换个方法，万事大吉。